Bài tự luận · Bài 15
Dạng 1. Tìm nguyên hàm của một hàm số Phương pháp: Sủ dụng công thức $ \int { F ^ { ′ } }(x)dx=F(x)+C $ với $ F(x) $ là hàm số có đạo hàm liên tục và các tính chất của nguyên hàm.
Bài tự luận Nguyên hàm · Bài 15
(CD12) Tìm:
a) $\int { (5\sin x-6\cos x) }dx$;
b) $\int { \sin^{2} }2x dx+\int { \cos^{2} }2x dx$;
c) $\int { \sin^{2} }\frac{x}{2} dx$;
d) $\int { \left( \sin \frac{x}{2}+\cos \frac{x}{2} \right)^{2} }dx$;
$e*)\ \int\cos^4\frac{x}{2}\,dx-\int\sin^4\frac{x}{2}\,dx$;
$g*)\ \int\tan^2x\,dx$.
a) $\int { (5\sin x-6\cos x) }dx$;
b) $\int { \sin^{2} }2x dx+\int { \cos^{2} }2x dx$;
c) $\int { \sin^{2} }\frac{x}{2} dx$;
d) $\int { \left( \sin \frac{x}{2}+\cos \frac{x}{2} \right)^{2} }dx$;
$e*)\ \int\cos^4\frac{x}{2}\,dx-\int\sin^4\frac{x}{2}\,dx$;
$g*)\ \int\tan^2x\,dx$.
Xem lời giải
Lời giải
a) $\int { (5\sin x-6\cos x) }dx=-5\cos x-6\sin x+C$.
b) $\int { \sin^{2} }2x dx+\int { \cos^{2} }2x dx=\int { \left( \sin^{2} 2x+\cos^{2} 2x \right) }dx=\int { 1 } dx=x+C$.
c) $\int { \sin^{2} }\left( \frac{x}{2} \right)dx=\int { \frac{1-\cos x}{2} } dx=\frac{1}{2}\int { d }x-\frac{1}{2}\int { \cos }x dx=\frac{x-\sin x}{2}+C$.
d) $\int { \left( \sin \frac{x}{2}+\cos \frac{x}{2} \right)^{2} } dx=\int { \left( \sin^{2} \frac{x}{2}+\sin x+\cos^{2} \frac{x}{2} \right) }dx=\int { (1+\sin x) }dx$ $=x-\cos x+C$.
$e*)\ \int\cos^4\frac{x}{2}\,dx-\int\sin^4\frac{x}{2}\,dx=\int\left(\cos^2\frac{x}{2}+\sin^2\frac{x}{2}\right)\left(\cos^2\frac{x}{2}-\sin^2\frac{x}{2}\right)dx$
$=\int\cos x\,dx=\sin x+C$.
$g*)\ \int\tan^2x\,dx=\int[(\tan^2x+1)-1]dx=\int\left(\frac{1}{\cos^2x}-1\right)dx=\tan x-x+C$.
b) $\int { \sin^{2} }2x dx+\int { \cos^{2} }2x dx=\int { \left( \sin^{2} 2x+\cos^{2} 2x \right) }dx=\int { 1 } dx=x+C$.
c) $\int { \sin^{2} }\left( \frac{x}{2} \right)dx=\int { \frac{1-\cos x}{2} } dx=\frac{1}{2}\int { d }x-\frac{1}{2}\int { \cos }x dx=\frac{x-\sin x}{2}+C$.
d) $\int { \left( \sin \frac{x}{2}+\cos \frac{x}{2} \right)^{2} } dx=\int { \left( \sin^{2} \frac{x}{2}+\sin x+\cos^{2} \frac{x}{2} \right) }dx=\int { (1+\sin x) }dx$ $=x-\cos x+C$.
$e*)\ \int\cos^4\frac{x}{2}\,dx-\int\sin^4\frac{x}{2}\,dx=\int\left(\cos^2\frac{x}{2}+\sin^2\frac{x}{2}\right)\left(\cos^2\frac{x}{2}-\sin^2\frac{x}{2}\right)dx$
$=\int\cos x\,dx=\sin x+C$.
$g*)\ \int\tan^2x\,dx=\int[(\tan^2x+1)-1]dx=\int\left(\frac{1}{\cos^2x}-1\right)dx=\tan x-x+C$.