Bài tập nâng cao · Bài 10
Bài tập nâng cao Cấp số nhân · Bài 10
Tìm a, b biết rằng: 1, a, b là 3 số hạng liên tiếp của cấp số cộng và $1,a^2,b^2$ là 3 số hạng liên tiếp của một cấp số nhân.
Xem lời giải
Lời giải
Theo đề bài ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l} 1+b=2a \\ b^2=a^4 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 1+b=2a(1) \\ b=\pm a^2 \end{array} \right.$
Với $b=a^2$ thay vào (1) được $1+a^2=2a\Leftrightarrow a^2-2a+1=0\Leftrightarrow a=1\Rightarrow b=1$
Với $b=-a^2$ thay vào (1) được $1-a^2=2a\Leftrightarrow a^2+2a-1=0\Leftrightarrow a=-1+\sqrt{2}\vee a=-1-\sqrt{2}$
• $a=-1+\sqrt{2}\Rightarrow b=-(-1+\sqrt{2})^2 \Leftrightarrow b=-3+2\sqrt{2}$
• $a=-1-\sqrt{2}\Rightarrow b=-(-1-\sqrt{2})^2 \Leftrightarrow b=-3-2\sqrt{2}$
Kết luận $\left\{ \begin{array}{l} a=1 \\ b=1 \end{array} \right.\vee\left\{ \begin{array}{l} a=-1+\sqrt{2} \\ b=-3+2\sqrt{2} \end{array} \right.\vee\left\{ \begin{array}{l} a=-1-\sqrt{2} \\ b=-3-2\sqrt{2} \end{array} \right.$ thỏa yêu cầu đề bài.
Với $b=a^2$ thay vào (1) được $1+a^2=2a\Leftrightarrow a^2-2a+1=0\Leftrightarrow a=1\Rightarrow b=1$
Với $b=-a^2$ thay vào (1) được $1-a^2=2a\Leftrightarrow a^2+2a-1=0\Leftrightarrow a=-1+\sqrt{2}\vee a=-1-\sqrt{2}$
• $a=-1+\sqrt{2}\Rightarrow b=-(-1+\sqrt{2})^2 \Leftrightarrow b=-3+2\sqrt{2}$
• $a=-1-\sqrt{2}\Rightarrow b=-(-1-\sqrt{2})^2 \Leftrightarrow b=-3-2\sqrt{2}$
Kết luận $\left\{ \begin{array}{l} a=1 \\ b=1 \end{array} \right.\vee\left\{ \begin{array}{l} a=-1+\sqrt{2} \\ b=-3+2\sqrt{2} \end{array} \right.\vee\left\{ \begin{array}{l} a=-1-\sqrt{2} \\ b=-3-2\sqrt{2} \end{array} \right.$ thỏa yêu cầu đề bài.