(KNTT11) Cho hàm số $f(x)=4\sin^2\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)$. Chứng minh rằng $\left|f'(x)\right|\leq8$ với mọi $x\in\mathbb{R}$. Tìm $x$ để $f'(x)=8$.

Question

Dạng 1. Tính đạo hàm bằng công thức và vận dụng (KNTT11) Cho hàm số $f(x)=4\sin^2\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)$. Chứng minh rằng $\left|f'(x)\right|\leq8$ với mọi $x\in\mathbb{R}$. Tìm $x$ để $f'(x)=8$.

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: Ta có: $\begin{aligned}f'(x)&=8\sin\left(2x-\frac{\pi}{3}ight)\left(\sin\left(2x-\frac{\pi}{3}ight)ight)'=8\sin\left(2x-\frac{\pi}{3}ight)\cos\left(2x-\frac{\pi}{3}ight)\left(2x-\frac{\pi}{3}ight)'\&=16\sin\left(2x-\frac{\pi}{3}ight)\cos\left(2x-\frac{\pi}{3}ight)=8\sin\left(4x-\frac{2\pi}{3}ight)\end{aligned}$ Từ đó suy ra: $\left|f'(x)ight|=8\left|\sin\left(4x-\frac{2\pi}{3}ight)ight|\leq8,\forall x\in\mathbb{R}$. $f'(x)=8\Leftrightarrow\sin\left(4x-\frac{2\pi}{3}ight)=1\Leftrightarrow4x-\frac{2\pi}{3}=\frac{\pi}{2}+2k\pi\Leftrightarrow x=\frac{7\pi}{24}+k\frac{\pi}{2},k\in\mathbb{Z}$

Bài tự luận Các quy tắc tính đạo hàm · Bài 19