Dạng 2. Độ dài của vectơ
Phương pháp:
- Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác để tính độ dài.
- Sử dụng tính chất của các tam giác đặc biệt: tam giác đều, tam giác cân, tam giác vuông, tam giác vuông cân.
- Sử dụng tính chất của tứ giác đặc biệt: hình vuông, hình chữ nhật, hình thoi, hình bình hành,...
Bài tự luận Tổng và hiệu của hai vectơ · Bài 30
(KNTT10) Cho hình chữ nhật $ABCD$ với $AB=a,AD=a\sqrt{2}$.
a) Tính độ dài của vectơ $\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{AB}$.
b) Xác định điểm $M$ sao cho $\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BM}$.
Xem lời giải
Lời giải
a) Do hình chữ nhật $ABCD$ có $AB=a,AD=a\sqrt{2}$ nên độ dài hai đường chéo $AC,BD$ bằng $\sqrt{a^{2}+(a\sqrt{2})^{2}}=a\sqrt{3}$.
Theo tính chất giao hoán và kết hợp phép cộng vectơ, ta có
$\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DC}=(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD})+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AC}$.
Do đó $\|\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{AB}\|=\|\overrightarrow{AC}\|=a\sqrt{3}$.
b) Do $\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}$ nên $\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BM}$ $\Leftrightarrow\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BM}$.
Đẳng thức $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BM}$ tương đương với tứ giác $ABMC$ là một hình bình hành. Từ đó $\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$. Vậy điểm $M$ cần tìm là điểm đối xứng với $D$ qua $C$.
