Bài tự luận · Bài 19
Dạng 1. Tính chất và đồ thị của hàm số mũ, hàm số lôgarit
Bài tự luận Hàm số mũ và hàm số lôgarit · Bài 19
(CTST11) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
a) $y=f(x)=2^{x}$ trên đoạn $[-2;3]$;
b) $y=f(x)=\left( \frac{1}{3} \right)^{2x-1}$ trên đoạn $[-1;2]$.
a) $y=f(x)=2^{x}$ trên đoạn $[-2;3]$;
b) $y=f(x)=\left( \frac{1}{3} \right)^{2x-1}$ trên đoạn $[-1;2]$.
Xem lời giải
Lời giải
a) Hàm số $y=f(x)=2^{x}$ có cơ số $2>1$ nên đồng biến trên $\mathbb{R}$, ta có:
$\max_{x\in [-2;3]}y=f(3)=2^{3}=8$ và $\min_{x\in [-2;3]}y=f(-2)=2^{-2}=\frac{1}{4}$.
b) Với $-1\leq x\leq 2$, ta có $-3\leq 2x-1\leq 3$.
Hàm số $y=f(x)=\left( \frac{1}{3} \right)^{2x-1}$ có cơ số $\frac{1}{3}<1$ nên nghịch biến trên $\mathbb{R}$, ta có:
$\left( \frac{1}{3} \right)^{-3}\geq \left( \frac{1}{3} \right)^{2x-1}\geq \left( \frac{1}{3} \right)^{3}$ hay $27\geq \left( \frac{1}{3} \right)^{2x-1}\geq \frac{1}{27}.$ Từ đó, ta có: $\max_{x\in [-1;2]}y=27$ và $\min_{x\in [-1;2]}y=\frac{1}{27}$.
$\max_{x\in [-2;3]}y=f(3)=2^{3}=8$ và $\min_{x\in [-2;3]}y=f(-2)=2^{-2}=\frac{1}{4}$.
b) Với $-1\leq x\leq 2$, ta có $-3\leq 2x-1\leq 3$.
Hàm số $y=f(x)=\left( \frac{1}{3} \right)^{2x-1}$ có cơ số $\frac{1}{3}<1$ nên nghịch biến trên $\mathbb{R}$, ta có:
$\left( \frac{1}{3} \right)^{-3}\geq \left( \frac{1}{3} \right)^{2x-1}\geq \left( \frac{1}{3} \right)^{3}$ hay $27\geq \left( \frac{1}{3} \right)^{2x-1}\geq \frac{1}{27}.$ Từ đó, ta có: $\max_{x\in [-1;2]}y=27$ và $\min_{x\in [-1;2]}y=\frac{1}{27}$.