Bài tự luận · Bài 4
Dạng 1. Xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng Phương pháp: Đưa bài toán về xác định góc giũa hai đường thẳng, cu thể là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó trên mặt phẳng.
Bài tự luận Phép chiếu vuông góc. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng · Bài 4
(KNTT11) Cho hình lăng trụ tam giác $ABC\cdot A'B'C'$ có đáy là tam giác $ABC$ cân tại $A$, góc $BAC$ bằng $120^\circ$ và $AB=2a$. Hình chiếu của $A'$ trên mặt phẳng $(ABC)$ trùng với trung điểm $H$ của $BC$, biết $AA'=a\sqrt{2}$. Tính góc giữa đường thẳng $AA'$ và mặt phẳng $(ABC)$.
Xem lời giải
Lời giải
Ta có: $AH$ là hình chiếu của $AA'$ trên mặt phẳng $(ABC)$ và tam giác $AA'H$ vuông tại $H$. Do đó, góc giữa đường thẳng $AA'$ và mặt phẳng $(ABC)$ bằng góc giữa hai đường thẳng $AA'$ và $AH$.
Xét tam giác $ABH$ vuông tại $H$, có: $\widehat{HAB}=\frac{1}{2}\widehat{BAC}=60^\circ$, suy ra $AH=a.$
Xét tam giác $AA'H$ vuông tại $H$, có: $\cos\widehat{HAA'}=\frac{AH}{AA'}=\frac{1}{\sqrt{2}}$, suy ra $\widehat{HAA'}=45^\circ$.
Do đó $\left( AA',AH \right)=45^\circ$, hay góc giữa đường thẳng $AA'$ và mặt phẳng $(ABC)$ bằng $45^\circ$.