Mặt sàn của một thang máy có dạng hình vuông $ABCD$ cạnh $2{ \rm{ m } }$ được lát gạch màu trắng và trang trí bởi một hình 4 cánh giống nhau màu sẫm. Khi đặt trong hệ trục tọa độ $Oxy$ với $O$ là tâm hình vuông sao cho $A\left( 1;1 \right)$ như hình vẽ bên thì các đường cong $OA$ có phương trình $y=x^{2}$ và $y=ax^{3} +bx$. Tính giá trị $a.b$ biết rằng diện tích trang trí màu sẫm chiếm $\frac{1}{3}$ diện tích mặt sàn.

Question

Dạng 1. Ứng dụng diện tích Mặt sàn của một thang máy có dạng hình vuông $ABCD$ cạnh $2{ \rm{ m } }$ được lát gạch màu trắng và trang trí bởi một hình 4 cánh giống nhau màu sẫm. Khi đặt trong hệ trục tọa độ $Oxy$ với $O$ là tâm hình vuông sao cho $A\left( 1;1 \right)$ như hình vẽ bên thì các đường cong $OA$ có phương trình $y=x^{2}$ và $y=ax^{3} +bx$. Tính giá trị $a.b$ biết rằng diện tích trang trí màu sẫm chiếm $\frac{1}{3}$ diện tích mặt sàn. [IMAGE:question_images/12-CD18. UNG DUNG TP TINH DIEN TICH-THE TICH/F. BAI TAP NANG CAO/image864.png]

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: Đồ thị của hàm số $y=ax^{3} +bx$ đi qua điểm $A\left( 1;1 ight)\Rightarrow$$a+b=1$. $S_{ABCD}=4\,m^2$. Diện tích của 4 cánh hoa: $S_{1}=\frac{1}{3}S_{ABCD}=\frac{4}{3}$ Diện tích của một cánh hoa: $S_{2}=\frac{1}{4}.\frac{4}{3}=\frac{1}{3}$. Mà: $S_{2}=\int _{0}^{1} { \left( x^{2} -ax^{3} -bx ight){ m{ d } }x }=\left( \frac{x^{3}}{3}-\frac{ax^{4}}{4}-\frac{bx^{2}}{2} ight)\mid 1 \ 0=\frac{1}{3}$ $\Leftrightarrow \frac{1}{3}-\frac{a}{4}-\frac{b}{2}=\frac{1}{3}\Leftrightarrow \frac{a}{4}+\frac{b}{2}=0$. Ta có hệ pt: $\left\{ \begin{array}{l} a+b=1 \ \frac{a}{4}+\frac{b}{2}=0 \end{array} ight.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a=2 \ b=-1 \end{array} ight.\Leftrightarrow ab=-2$.

Bài tập nâng cao Ứng dụng hình học của tích phân · Bài 37