Bài tự luận · Bài 6
Dạng 1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, đến một mặt phẳng
Bài tự luận Khoảng cách · Bài 6
(CTST11) Cho hình chóp tam giác đều $S.ABC$ có cạnh đáy bằng $3a$, cạnh bên bằng $2a$. Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC,M$ là trung điểm của $SC$.
a) Tính khoảng cách từ $S$ đến mặt phẳng $(ABC)$.
b) Tính khoảng cách từ $M$ đến mặt phẳng $(SAG)$.
a) Tính khoảng cách từ $S$ đến mặt phẳng $(ABC)$.
b) Tính khoảng cách từ $M$ đến mặt phẳng $(SAG)$.
Xem lời giải
Lời giải
a) Do $S.ABC$ là hình chóp tam giác đều nên $SG\perp(ABC)$ hay $d(S,(ABC))=SG$.
Tam giác $ABC$ là tam giác đều cạnh $3a$ nên $AG=\frac{2}{3}\cdot\frac{3a\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}$.
Tam giác $SAG$ vuông tại $G$ nên
$SG=\sqrt{SA^{2}-AG^{2}}=\sqrt{4a^{2}-3a^{2}}=a$.
Vậy $d(S,(ABC))=a$.
b) Vì $SC\cap(SAG)=S$ nên $\frac{d(M,(SAG))}{d(C,(SAG))}=\frac{MS}{CS}=\frac{1}{2}$
$\Rightarrow d(M,(SAG))=\frac{1}{2}d(C,(SAG))$.
Gọi $I$ là trung điểm của $BC$.
Ta có: $CB\perp AI$ và $CB\perp SG\Rightarrow CB\perp(SAG)$ và $CB\cap(SAG)=I$.
Do đó $d(C,(SAG))=CI=\frac{1}{2}BC=\frac{3a}{2}$. Vậy $d(M,(SAG))=\frac{3a}{4}$.