Bài tự luận · Bài 11
Dạng 1. Tính diện tích
Bài tự luận Ứng dụng hình học của tích phân · Bài 11
(CTST12) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
a) Đồ thị của hàm số $ y=3x(2-x) $, trục hoành và hai đường thẳng $ x=-1,x=1 $.
b) Đồ thị của hàm số $ y=\frac { 4-x } { x } $, trục hoành và hai đường thẳng $ x=1,x=2 $.
c) Đồ thị của hàm số $ y=x ^ { 3 } -x ^ { 2 } $, trục hoành và hai đường thẳng $ x=0,x=2 $.
a) Đồ thị của hàm số $ y=3x(2-x) $, trục hoành và hai đường thẳng $ x=-1,x=1 $.
b) Đồ thị của hàm số $ y=\frac { 4-x } { x } $, trục hoành và hai đường thẳng $ x=1,x=2 $.
c) Đồ thị của hàm số $ y=x ^ { 3 } -x ^ { 2 } $, trục hoành và hai đường thẳng $ x=0,x=2 $.
Xem lời giải
Lời giải
a) Diện tích cần tìm là $S=\int_{-1}^{1}|3x(2-x)|\,dx=\int_{-1}^{1}|6x-3x^2|\,dx$.
Ta có $ 3x(2-x)=0\Leftrightarrow x=0 $ hoặc $ x=2 $.
Phương trình chỉ có một nghiệm thuộc đoạn $ [-1;1] $ là $ x=0 $.
Do đó, $ S=\int _{ -1 }^{ 1 } { \left | { \left ( { 6x-3x ^ { 2 } } \right ) } \right | }dx=\left | { \int _{ -1 }^{ 0 } { \left ( { 6x-3x ^ { 2 } } \right ) }dx } \right |+\left | { \int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { 6x-3x ^ { 2 } } \right ) }dx } \right | $
$ =\left | { \left | { \left ( { 3x ^ { 2 } -x ^ { 3 } } \right ) } \right |_{ -1 } ^{ 0 }\|+\|\left ( { 3x ^ { 2 } -x ^ { 3 } } \right ) } \right ._{ 0 } ^{ 1 }∣=4+2=6{ \rm{ . } }{ \rm{ } } $
b) Ta có $ y=\frac { 4-x } { x }>0 $ với mọi $ x\in [1;2] $. Do đó, diện tích cần tìm là
$ S=\int _{ 1 }^{ 2 } { \frac { 4-x } { x } } dx=4\int _{ 1 }^{ 2 } { \frac { 1 } { x } } dx-\int _{ 1 }^{ 2 } { d }x=\left | { 4lnx } \right ._{ 1 } ^{ 2 }-\left | { x } \right ._{ 1 } ^{ 2 }=4ln2-1 $
c) Ta có $ x ^ { 3 } -x ^ { 2 } =0\Leftrightarrow x ^ { 2 } (x-1)=0\Leftrightarrow x=1 $ hoặc $ x=0 $.
Với $ x\in [0;1] $ thì $ y\leq 0 $; với $ x\in [1;2] $ thì $ y\geq 0 $.
Do đó, diện tích cần tìm là
$S=\int_0^2|x^3-x^2|\,dx=\int_0^1(x^2-x^3)\,dx+\int_1^2(x^3-x^2)\,dx=\left.\left(\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^4}{4}\right)\right|_0^1+\left.\left(\dfrac{x^4}{4}-\dfrac{x^3}{3}\right)\right|_1^2=\dfrac32$.
Ta có $ 3x(2-x)=0\Leftrightarrow x=0 $ hoặc $ x=2 $.
Phương trình chỉ có một nghiệm thuộc đoạn $ [-1;1] $ là $ x=0 $.
Do đó, $ S=\int _{ -1 }^{ 1 } { \left | { \left ( { 6x-3x ^ { 2 } } \right ) } \right | }dx=\left | { \int _{ -1 }^{ 0 } { \left ( { 6x-3x ^ { 2 } } \right ) }dx } \right |+\left | { \int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { 6x-3x ^ { 2 } } \right ) }dx } \right | $
$ =\left | { \left | { \left ( { 3x ^ { 2 } -x ^ { 3 } } \right ) } \right |_{ -1 } ^{ 0 }\|+\|\left ( { 3x ^ { 2 } -x ^ { 3 } } \right ) } \right ._{ 0 } ^{ 1 }∣=4+2=6{ \rm{ . } }{ \rm{ } } $
b) Ta có $ y=\frac { 4-x } { x }>0 $ với mọi $ x\in [1;2] $. Do đó, diện tích cần tìm là
$ S=\int _{ 1 }^{ 2 } { \frac { 4-x } { x } } dx=4\int _{ 1 }^{ 2 } { \frac { 1 } { x } } dx-\int _{ 1 }^{ 2 } { d }x=\left | { 4lnx } \right ._{ 1 } ^{ 2 }-\left | { x } \right ._{ 1 } ^{ 2 }=4ln2-1 $
c) Ta có $ x ^ { 3 } -x ^ { 2 } =0\Leftrightarrow x ^ { 2 } (x-1)=0\Leftrightarrow x=1 $ hoặc $ x=0 $.
Với $ x\in [0;1] $ thì $ y\leq 0 $; với $ x\in [1;2] $ thì $ y\geq 0 $.
Do đó, diện tích cần tìm là
$S=\int_0^2|x^3-x^2|\,dx=\int_0^1(x^2-x^3)\,dx+\int_1^2(x^3-x^2)\,dx=\left.\left(\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^4}{4}\right)\right|_0^1+\left.\left(\dfrac{x^4}{4}-\dfrac{x^3}{3}\right)\right|_1^2=\dfrac32$.