Bài tự luận Một số bài toán thuộc chuyên đề Toán học 10–11–12 · Bài 6
Hàm lượng protein, lipid và glucid (tính theo gam) trong 100 g mỗi loại thực phẩm A và $B$ được cho bởi bảng sau:
Protein Lipid Glucid
A 24 3 60
B 8 2 80
Từ hai loại thực phẩm A và B, người ta muốn tạo ra một lượng thực phẩm chứa ít nhất 480 g protein, 90 g lipid và 2400 g glucid. Biết rằng một kilôgam mỗi loại thực phẩm A và B có giá lần lượt là 80 nghìn đồng, 100 nghìn đồng. Cần chọn bao nhiêu kilôgam mỗi loại thực phẩm A và B để chi phí thấp nhất?
Xem lời giải
Lời giải
Gọi $x,y$ ($x\geq 0, y\geq 0$, tính theo 100 g) lần lượt là khối lượng thực phẩm A và B cần chọn. Từ yêu cầu lượng protein, lipid và glucid tối thiểu, ta nhận được hệ bất phương trình
$\left\{ \begin{array}{l} 24x+8y\geq 480 \\ 3x+2y\geq 90 \\ 60x+80y\geq 2400 \end{array} \right.$ hay $\left\{ \begin{array}{l} 3x+y\geq 60 \\ 3x+2y\geq 90 \\ 3x+4y\geq 120 \end{array} \right.$.
80 nghìn đồng/kg nghĩa là 8 nghìn đồng/100 g;
100 nghìn đồng/kg nghĩa là 10 nghìn đồng/100 g.
Chi phí để mua thực phẩm A và B là $F=8x+10y$ (nghìn đồng).
Từ đó, ta nhận được bài toán: $F=8x+10y\to \min$
với ràng buộc $\left\{ \begin{array}{l} 3x+y\geq 60 \\ 3x+2y\geq 90 \\ 3x+4y\geq 120 \\ x\geq 0 \\ y\geq 0 \end{array} \right.$
Tập phương án $\Omega$ là miền không gạch chéo ở hình bên với các đỉnh là $A(0;60), B(10;30), C(20;15), D(40;0)$.
Giá trị của $F$ tại các đỉnh: $F(0;60)=600; F(10;30)=380; F(20;15)=310; F(40;0)=320$.
Từ đó, $\min_{\Omega}F=F(20;15)=310$ (nghìn đồng).
Vậy để chi phí thấp nhất, cần chọn 2 kg thực phẩm A và $1,5$ kg thực phẩm B.
