Cho dãy số $ \left ( { u_{ n } } \right ) $ xác định bởi công thức truy hồi $ \left \{ \begin{array}{l} u_{ 1 } =3 \\ u_{ n } =u_{ n-1 } +6n ^ { 2 } -2n,{ \rm{ } }n≥2 \end{array} \right. $. Biết $ u_{ 2024 } =a.10 ^ { 10 } $. Tìm $ a $. (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)

Theo đề bài ta có $ u_{ 1 } =3 $ $ u_{ 2 } =u_{ 1 } +6.2 ^ { 2 } -2.2 $ $ u_{ 3 } =u_{ 2 } +6.3 ^ { 2 } -2.3 $ $ u_{ 4 } =u_{ 3 } +6.4 ^ { 2 } -2.4 $ … $ u_{ n } =u_{ n-1 } +6.n ^ { 2 } -2.n $ Cộng $ n $ đẳng thức trên theo vế ta được $ u_{ n } =3+6\left[ 2 ^ { 2 } +3 ^ { 2 } +...+n ^ { 2 } \right]-2\left[ 2+3+...+n \right] $ $ ⇒u_{ n } =3+6\left[ 1 ^ { 2 } +2 ^ { 2 } +3 ^ { 2 } +...+n ^ { 2 } \right]-2\left[ 1+2+3+...+n \right]-4 $ $ ⇒u_{ n } =-1+n\left ( { n+1 } \right )\left ( { 2n+1 } \right )-n\left ( { n+1 } \right )=2n ^ { 3 } +2n ^ { 2 } -1 $. Suy ra $ u_{ 2024 } ≈1,66.10 ^ { 10 } $. Vậy $ a≈1,66 $.