Người ta muốn chế tạo một chiếc hộp hình hộp chữ nhật có thể tích $500 cm ^{3}$ với yêu cầu dùng ít vật liệu nhất.
Chiều cao hộp phải là $2 cm$, các kích thước khác là $ x,y$ với $ x>0$ và $ y>0$.
a) Hãy biểu thị $y$ theo $ x$.
b) Chứng tỏ rằng diện tích toàn phần của chiếc hộp là: $S(x)=500+4x+\frac{1000}{x}.$
c) Lập bảng biến thiên của hàm số $S(x)$ trên khoảng $ (0;+\infty )$.
d) Kích thước của hộp là bao nhiêu thì dùng ít vật liệu nhất? (Làm tròn kết quả đến hàng phần mười)
Xem lời giải
Lời giải
a) $y=\frac{500}{2x}=\frac{250}{x}$
b) Diện tích toàn phần của chiếc hộp là: $S(x)=2\cdot 2(x+y)+2xy=4\left ( { x+\frac{250}{x} } \right )+2\cdot x\cdot \frac{250}{x}=500+4x+\frac{1000}{x}$
c) Tập xác định: $D=(0;+\infty )$
- Chiều biến thiên:
$S ^{′} (x)=4-\frac { 1000 } { x ^{2} }=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=5\sqrt{ 10 } \\ x=-5\sqrt{ 10 }(loai) \\ \end{array} \right.$
- Giới hạn và tiệm cận:
$\lim_{x\to +\infty}S(x)=\lim_{x\to +\infty}\left(500+4x+\frac{1000}{x}\right)=+\infty; \lim_{x\to -\infty}S(x)=\lim_{x\to -\infty}\left(500+4x+\frac{1000}{x}\right)=-\infty$
$\lim_{x\to 0^+}S(x)=\lim_{x\to 0^+}\left(500+4x+\frac{1000}{x}\right)=+\infty; \lim_{x\to 0^-}S(x)=\lim_{x\to 0^-}\left(500+4x+\frac{1000}{x}\right)=-\infty$
Bảng biến thiên:
d) Để $S(x)$ nhỏ nhất thì $ x=15,8( cm)$ và $ y=\frac{250}{x}=\frac { 250 } { 5\sqrt{ 10 } }\approx 15,8( cm)$
