Một xưởng sản xuất đồ gỗ mỹ nghệ sản xuất ra hai loại sản phẩm I và II. Mỗi bộ sản phẩm loại I lãi 5 triệu đồng, mỗi bộ sản phẩm loại II lãi 4 triệu đồng. Để sản xuất mỗi bộ sản phẩm loại I cần máy làm việc trong 3 giờ và nhân công làm việc trong 2 giờ. Để sản xuất mỗi bộ sản phẩm loại II cần máy làm việc trong 3 giờ và nhân công làm việc trong 1 giờ. Biết rằng chỉ dùng máy hoặc chỉ dùng nhân công, không thể đồng thời làm hai loại sản phẩm cùng lúc, số nhân công luôn ổn định. Một ngày máy làm việc không quá 15 giờ, nhân công làm việc không quá 8 giờ. Hỏi một ngày tiền lãi lớn nhất bằng bao nhiêu?

Gọi số bộ sản phẩm loại I sản xuất trong một ngày là $x \, (x \ge 0)$. Số bộ sản phẩm loại II sản xuất trong một ngày là $y \, (y \ge 0)$. Số tiền lãi thu được là: $T = 5x + 4y$ (triệu đồng). Số giờ làm việc của máy là: $3x + 3y$. Số giờ làm việc của công nhân là: $2x + y$. Theo giả thiết, một ngày máy làm việc không quá 15 giờ, nhân công làm việc không quá 8 giờ nên ta có hệ bất phương trình: $ \left\{ \begin{array}{l} 3x+3y \le 15 \\ 2x+y \le 8 \\ x \ge 0 \\ y \ge 0 \end{array} \right. $ Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tứ giác (kể cả các cạnh) không bị gạch trong hình vẽ. Xét giá trị của $T$ tại các đỉnh của miền nghiệm: - Tại $(0; 0) \Rightarrow T = 0$. - Tại $(4; 0) \Rightarrow T = 20$. - Tại $(3; 2) \Rightarrow T = 23$. - Tại $(0; 5) \Rightarrow T = 20$. Vậy tiền lãi lớn nhất trong một ngày là 23 triệu đồng ($T_{\max} = 23$).