Bài tự luận · Bài 41
Dạng 3. Tìm giới hạn có điều kiện tham số
Bài tự luận Giới hạn của hàm số · Bài 41
(CTST11) Tìm giá trị của các tham số $a$ và $b$ biết $\lim\limits_{x\to 1}\frac{x^{2}+ax+b}{x-1}=4$.
Xem lời giải
Lời giải
Do $\lim\limits_{x\to 1}(x-1)=0$ nên để tồn tại giới hạn hữu hạn $\lim\limits_{x\to 1}\frac{x^{2}+ax+b}{x-1}=4$, trước hết ta phải có $\lim\limits_{x\to 1}\left(x^{2}+ax+b\right)=0$ hay $1+a+b=0\Rightarrow b=-a-1$.
Khi đó, $\lim\limits_{x\to 1}\frac{x^{2}+ax+b}{x-1}=\lim\limits_{x\to 1}\frac{x^{2}+ax-a-1}{x-1}=\lim\limits_{x\to 1}\frac{x^{2}-1+a(x-1)}{x-1}$
$=\lim\limits_{x\to 1}\frac{(x+1)(x-1)+a(x-1)}{x-1}=\lim\limits_{x\to 1}\frac{(x+1+a)(x-1)}{x-1}=\lim\limits_{x\to 1}(x+1+a)=\lim\limits_{x\to 1}x+1+a=2+a$.
Suy ra $2+a=4$ hay $a=2$, suy ra $b=-3$.
Vậy $a=2,b=-3$.
Khi đó, $\lim\limits_{x\to 1}\frac{x^{2}+ax+b}{x-1}=\lim\limits_{x\to 1}\frac{x^{2}+ax-a-1}{x-1}=\lim\limits_{x\to 1}\frac{x^{2}-1+a(x-1)}{x-1}$
$=\lim\limits_{x\to 1}\frac{(x+1)(x-1)+a(x-1)}{x-1}=\lim\limits_{x\to 1}\frac{(x+1+a)(x-1)}{x-1}=\lim\limits_{x\to 1}(x+1+a)=\lim\limits_{x\to 1}x+1+a=2+a$.
Suy ra $2+a=4$ hay $a=2$, suy ra $b=-3$.
Vậy $a=2,b=-3$.