Đúng/Sai · Câu 1
Cho dãy số $\left(u_{n}\right)$ với $u_{1}=2;\,u_{n+1}=u_{n}+\frac{2}{3^{n}},\,n\geq 1.$ Đặt $v_{n}=u_{n+1}-u_{n}.$
Chọn Đúng hoặc Sai cho từng ý.
Xem đáp án và lời giải
Kết quả từng mệnh đề
- a. Sai
- b. Đúng
- c. Sai
- d. Đúng
Lời giải
Lời giải
a) Sai
$$u_{2}=u_{1}+\frac{2}{3}=2+\frac{2}{3}=\frac{8}{3}.$$
b) Đúng
$$v_{n}=u_{n+1}-u_{n} \Rightarrow v_{n}=\frac{2}{3^{n}} \Rightarrow v_{2}=\frac{2}{3^{2}}=\frac{2}{9}.$$
c) Sai
$$v_{n}=\frac{2}{3^{n}} \Rightarrow \lim v_{n}=\lim\frac{2}{3^{n}}=0.$$
d) Đúng
$$v_{1}+v_{2}+\dots+v_{n-1}=\frac{2}{3}\cdot\frac{1-\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}}{1-\frac{1}{3}}=1-\frac{1}{3^{n-1}};\,\forall n\geq 2.$$
Mặt khác $v_{1}+v_{2}+\dots+v_{n-1}=u_{n}-2;\,\forall n\geq 2.$
Nên $u_{n}=3-\frac{1}{3^{n-1}}.$ Do đó $\lim u_{n}=\lim\left(3-\frac{1}{3^{n-1}}\right)=3.$