Giới hạn $I = \lim_{n \to \infty} \frac{5n(3+n)+1}{1+3+5+...+(4n-1)} = \frac{a}{b}$. Biết $\frac{a}{b}$ tối giản, $a, b$ nguyên dương. Tính $a^{2} + b^{2}$.

Lời giải Nhận thấy: dãy số $(u_{n}): 1; 3; 5; ...; (4n-1)$ là một cấp số cộng có $2n$ số hạng với $u_{1} = 1, u_{2n} = 4n-1$. $$ S_{n} = 1+3+5+...+(4n-1) = \frac{2n}{2}(1 + 4n - 1) = 4n^{2} $$ Khi đó: $$ I = \lim_{n \to \infty} \frac{5n(3+n)+1}{4n^{2}} = \lim_{n \to \infty} \frac{5n^{2} + 15n + 1}{4n^{2}} = \lim_{n \to \infty} \Big(\frac{5}{4} + \frac{15}{4n} + \frac{1}{4n^{2}}\Big) = \frac{5}{4} $$ Suy ra $a=5; b=4$. Vậy $a^{2} + b^{2} = 5^{2} + 4^{2} = 25 + 16 = 41$.