Biết $ \lim\left ( { \sqrt[] { 4n ^ { 2 } +2n+1 }-2n+3 } \right )=\frac { a } { b } $. Với $ a,b\in \mathbb{N};\frac { a } { b } $ tối giản. Tính $ a-b ^ { 2 } $.

Ta có: $ \lim\left ( { \sqrt[] { 4n ^ { 2 } +2n+1 }-2n+3 } \right )=\lim\left[ \frac { \left ( { \sqrt[] { 4n ^ { 2 } +2n+1 }-2n } \right )\left ( { \sqrt[] { 4n ^ { 2 } +2n+1 }+2n } \right ) } { \sqrt[] { 4n ^ { 2 } +2n+1 }+2n }+3 \right] $ $ =\lim\left ( { \frac { 4n ^ { 2 } +2n+1-4n ^ { 2 } } { \sqrt[] { 4n ^ { 2 } +2n+1 }+2n }+3 } \right )=\lim\left ( { \frac { 2n+1 } { \sqrt[] { 4n ^ { 2 } +2n+1 }+2n }+3 } \right )=\lim\frac { n\left ( { 2+\frac { 1 } { n } } \right ) } { n\left ( { \sqrt[] { 4+\frac { 2 } { n }+\frac { 1 } { n ^ { 2 } } }+2 } \right ) } $ $ =\lim\left ( { \frac { 2+\frac { 1 } { n } } { \sqrt[] { 4+\frac { 2 } { n }+\frac { 1 } { n ^ { 2 } } }+2 }+3 } \right )=\frac { 2 } { 2+2 }+3=\frac { 7 } { 2 } $. Suy ra: $ a=7;b=2 $. Vậy: $ a-b ^ { 2 } =7-2 ^ { 2 } =3 $.