Đúng/Sai · Câu 3
Cho hàm số $y=f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l} \frac{x^{2}-2025}{x-45},\,khi\,x\neq 45 \\ 2m+4,\,khi\,x=45 \end{array}\right.$ ($m$ là tham số). Hãy cho biết tính đúng sai của mỗi khẳng định sau?
Chọn Đúng hoặc Sai cho từng ý.
Xem đáp án và lời giải
Kết quả từng mệnh đề
- a. Sai
- b. Đúng
- c. Đúng
- d. Sai
Lời giải
Lời giải
a) SAI
Hàm số $f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}$. Vậy a) Sai.
b) ĐÚNG
Ta có $\mathop{\lim}\limits_{x\to 45}\frac{x^{2}-2025}{x-45}=\mathop{\lim}\limits_{x\to 45}(x+45)=90$.
c) ĐÚNG
Ta có $f(20)=65$.
$\mathop{\lim}\limits_{x\to 20}f(x)=\mathop{\lim}\limits_{x\to 20}\frac{x^{2}-2025}{x-45}=\mathop{\lim}\limits_{x\to 20}(x+45)=65=f(20)$, nên $f(x)$ liên tục tại $x=20$. Vậy c) Đúng.
d) SAI
Với $x\neq 45$ thì $f(x)=\frac{x^{2}-2025}{x-45}$, hàm số liên tục trên các khoảng $(-\infty;45)$ và $(45;+\infty)$.
Hàm số liên tục trên $\mathbb{R} \Leftrightarrow$ hàm số liên tục tại $x=45 \Leftrightarrow \mathop{\lim}\limits_{x\to 45}f(x)=f(45)$
$$\Leftrightarrow \mathop{\lim}\limits_{x\to 45}(x+45)=2m+4 \Leftrightarrow 90=2m+4 \Leftrightarrow m=43.$$
Vậy $m=43$ thì hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$. Vậy d) Sai.