Cho $ a $,$ b $ là các số thực thỏa mãn $ 3a-b=6 $và $ \lim\limits_{ x\to 0 } \frac { \sqrt[] { x ^ { 2 } +2ax+4 }-\sqrt[] { bx+4 } } { x }=2 $. Tính $ a+b $.

Ta có: $ \lim\limits_{ x\to 0 } \frac { \sqrt[] { x ^ { 2 } +2ax+4 }-\sqrt[] { bx+4 } } { x } $ $ =\lim\limits_{ x\to 0 } \frac { \left ( { x ^ { 2 } +2ax+4 } \right )-\left ( { bx+4 } \right ) } { x.\left ( { \sqrt[] { x ^ { 2 } +2ax+4 }+\sqrt[] { bx+4 } } \right ) } $ $ =\lim\limits_{ x\to 0 } \frac { x ^ { 2 } +\left ( { 2a-b } \right )x } { x.\left ( { \sqrt[] { x ^ { 2 } +2ax+4 }+\sqrt[] { bx+4 } } \right ) } \mathop { =\lim } \limits_{ x\to 0 } \frac { x+\left ( { 2a-b } \right ) } { \sqrt[] { x ^ { 2 } +2ax+4 }+\sqrt[] { bx+4 } }=\frac { 2a-b } { 4 } $. Do $ \lim\limits_{ x\to 0 } \frac { \sqrt[] { x ^ { 2 } +2ax+4 }-\sqrt[] { bx+4 } } { x }=2 ⇔ \frac { 2a-b } { 4 }=2 ⇔2a-b=8 $. Từ đó ta có hệ phương trình: $ \left \{ \begin{array}{l} 3a-b=6 \\ 2a-b=8 \end{array} \right. ⇔\left \{ \begin{array}{l} a=-2 \\ b=-12 \end{array} \right. $. Vậy $ a+b=-14 $.