Biết $ \lim\limits_{ x\to 1 } \frac { \sqrt[] { 2x+7 }-3 } { x ^ { 3 } +x ^ { 2 } -2x }=\frac { a } { b } $. Với $ a,b\in \mathbb{N};\frac { a } { b } $ tối giản. Tính $ ab $.

Ta có: $ \lim\limits_{ x\to 1 } \frac { \sqrt[] { 2x+7 }-3 } { x ^ { 3 } +x ^ { 2 } -2x }=\lim\limits_{ x\to 1 } \frac { \left ( { \sqrt[] { 2x+7 }-3 } \right )\left ( { \sqrt[] { 2x+7 }+3 } \right ) } { x\left ( { x-1 } \right )\left ( { x+2 } \right )\left ( { \sqrt[] { 2x+7 }+3 } \right ) }=\lim\limits_{ x\to 1 } \frac { 2x+7-9 } { x\left ( { x-1 } \right )\left ( { x+2 } \right )\left ( { \sqrt[] { 2x+7 }+3 } \right ) } $ $ =\lim\limits_{ x\to 1 } \frac { 2\left ( { x-1 } \right ) } { x\left ( { x-1 } \right )\left ( { x+2 } \right )\left ( { \sqrt[] { 2x+7 }+3 } \right ) }=\lim\limits_{ x\to 1 } \frac { 2 } { x\left ( { x+2 } \right )\left ( { \sqrt[] { 2x+7 }+3 } \right ) }=\frac { 2 } { 1.\left ( { 1+2 } \right ).6 }=\frac { 1 } { 9 } $. Suy ra: $ a=1;b=9 $. Vậy: $ a.b=1.9=9 $.