Cho các dãy số $ \left ( { u_{ n } } \right ),\left ( { v_{ n } } \right ) $ với $ u_{ n } =\sqrt[] { 4n ^ { 2 } +5n+1 } $ và $ v_{ n } =2n+1 $. Xét tính đúng sai cho mỗi khẳng định sau:

a) Sai. Ta có $ v_{ n } =2n+1=n\left ( { 2+\frac { 1 } { n } } \right ) $, $ \lim\limits_{ n\to +\infty } n=+\infty $ và $ \lim\limits_{ n\to +\infty } \left ( { 2+\frac { 1 } { n } } \right )=2 $. Do đó, $ \lim\limits_{ n\to +\infty } u_{ n } =\lim\limits_{ n\to +\infty } \left ( { 2n+1 } \right )=+\infty $. b) Đúng. Ta có $ u_{ n } =\sqrt[] { 4n ^ { 2 } +5n+1 }=n\sqrt[] { 4+\frac { 5 } { n }+\frac { 1 } { n ^ { 2 } } } $, $ \lim\limits_{ n\to +\infty } n=+\infty $ và $ \lim\limits_{ n\to +\infty } \sqrt[] { 4+\frac { 5 } { n }+\frac { 1 } { n ^ { 2 } } }=2 $. Do đó, $ \lim\limits_{ n\to +\infty } v_{ n } =\lim\limits_{ n\to +\infty } \sqrt[] { 4n ^ { 2 } +5n+1 }=+\infty $. c) Sai. Ta có $ u_{ n } +v_{ n } =\sqrt[] { 4n ^ { 2 } +5n+1 }+2n+1=n\left ( { \sqrt[] { 4+\frac { 5 } { n }+\frac { 1 } { n ^ { 2 } } }+2+\frac { 1 } { n } } \right ) $, $ \lim\limits_{ n\to +\infty } n=+\infty $và $ \lim\limits_{ n\to +\infty } \left ( { \sqrt[] { 4+\frac { 5 } { n }+\frac { 1 } { n ^ { 2 } } }+2+\frac { 1 } { n } } \right )=4 $. Do đó, $ \lim\limits_{ n\to +\infty } \left ( { u_{ n } +v_{ n } } \right )=\lim\limits_{ n\to +\infty } \left ( { \sqrt[] { 4n ^ { 2 } +5n+1 }+2n+1 } \right )=+\infty $. d) Đúng. $ u_{ n } -v_{ n } =\sqrt[] { 4n ^ { 2 } +5n+1 }-\left ( { 2n+1 } \right )=\frac { \left ( { \sqrt[] { 4n ^ { 2 } +5n+1 } } \right ) ^ { 2 } -\left ( { 2n+1 } \right ) ^ { 2 } } { \sqrt[] { 4n ^ { 2 } +5n+1 }+\left ( { 2n+1 } \right ) }=\frac { n } { \sqrt[] { 4n ^ { 2 } +5n+1 }+\left ( { 2n+1 } \right ) } $. Do đó, $ \lim\limits_{ n\to +\infty } \left ( { u_{ n } -v_{ n } } \right )=\lim\limits_{ n\to +\infty } \frac { n } { \sqrt[] { 4n ^ { 2 } +5n+1 }+\left ( { 2n+1 } \right ) }=\lim\limits_{ n\to +\infty } \frac { 1 } { \sqrt[] { 4+\frac { 5 } { n }+\frac { 1 } { n ^ { 2 } } }+\left ( { 2+\frac { 1 } { n } } \right ) }=\frac { 1 } { 4 } $.