Cho hàm số $ f\left ( { x } \right )=\left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{ll} \frac { x ^ { 2 } -1 } { \sqrt[] { x }-1 } & { \rm{ khi } }x>1 \\ mx+3 & { \rm{ khi } }x\leq 1 \\ \end{array} \end{array} \right. $ (với $ m $là tham số). Hãy cho biết tính đúng sai của mỗi khẳng định sau?

a) ĐÚNG b) SAI. Ta có: $ \lim\limits_{ x\to 1 ^ { + } } f\left ( { x } \right )=\lim\limits_{ x\to 1 ^ { + } } \frac { x ^ { 2 } -1 } { \sqrt[] { x }-1 }=\lim\limits_{ x\to 1 ^ { + } } \frac { \left ( { x-1 } \right )\left ( { x+1 } \right ) } { \sqrt[] { x }-1 }=\lim\limits_{ x\to 1 ^ { + } } \frac { \left ( { \sqrt[] { x }-1 } \right )\left ( { \sqrt[] { x }+1 } \right )\left ( { x+1 } \right ) } { \sqrt[] { x }-1 } $ $ \,\,\,\,\,\,\,=\lim\limits_{ x\to 1 ^ { + } } \left[ \left ( { \sqrt[] { x }+1 } \right )\left ( { x+1 } \right ) \right]=4 $ Vậy b) Sai. c) ĐÚNG. Với $ x>1 $ thì $ f\left ( { x } \right )=\frac { x ^ { 2 } -1 } { \sqrt[] { x }-1 } $, hàm số xác định trên $ \left ( { 1;+\infty } \right ) $. Do đó hàm số liên tục trên khoảng $ \left ( { 1;+\infty } \right ) $. Vậy c) Đúng. d) SAI. * Với $ x>1 $ thì $ f\left ( { x } \right )=\frac { x ^ { 2 } -1 } { \sqrt[] { x }-1 } $, hàm số xác định trên $ \left ( { 1;+\infty } \right ) $. Do đó hàm số liên tục trên khoảng $ \left ( { 1;+\infty } \right ) $. * Với $ x < 1 $ thì $ f\left ( { x } \right )=mx+3 $, hàm số xác định trên khoảng $ \left ( { -\infty ;1 } \right ) $. Do đó hàm số liên tục trên khoảng $ \left ( { -\infty ;1 } \right ) $. Hàm số liên tục trên $ \mathbb{R} $ $ ⇔ $ hàm số liên tục tại $ x=1 $ $ ⇔\lim_{ x\to 1 ^ { + } } f\left ( { x } \right )=\lim_{ x\to 1 ^ { - } } f\left ( { x } \right )=f\left ( { 1 } \right ) $. Ta có: $ \lim_{ x\to 1 ^ { + } } f\left ( { x } \right )=4 $, $ \lim_{ x\to 1 ^ { - } } f\left ( { x } \right )=\lim_{ x\to 1 ^ { - } } \left ( { mx+3 } \right )=m+3 $, $ f\left ( { 1 } \right )=m+3 $ Suy ra $ m+3=4⇔m=1 $. Hàm số liên tục trên $ \mathbb{R} $ khi $ m=1 $. Vậy d) Sai