Cho hàm số $f(x) = \begin{cases} \frac{x^{2}-3x+2}{x-2} & \text{khi } x > 2 \\ 3x+2a & \text{khi } x \leq 2 \end{cases}$. Giá trị của $a$ bằng bao nhiêu thì hàm số đã cho liên tục trên $\mathbb{R}$?

Lời giải TXĐ: $D = \mathbb{R}$. Khi $x \in (2; +\infty)$, $f(x) = \frac{x^{2}-3x+2}{x-2} = x-1$ xác định nên $f(x)$ liên tục trên $(2; +\infty)$. Khi $x \in (-\infty; 2)$, $f(x) = 3x+2a$ xác định nên $f(x)$ liên tục trên $(-\infty; 2)$. Xét tại $x=2$: $$ \lim_{x \to 2^{+}} f(x) = \lim_{x \to 2^{+}} (x-1) = 1 $$ $$ \lim_{x \to 2^{-}} f(x) = \lim_{x \to 2^{-}} (3x+2a) = 6+2a $$ $f(2) = 6+2a$. Hàm số liên tục tại $x=2$ khi và chỉ khi $\lim_{x \to 2^{+}} f(x) = \lim_{x \to 2^{-}} f(x) = f(2)$: $$ 6+2a = 1 \Leftrightarrow 2a = -5 \Leftrightarrow a = -2,5 $$ Vậy $a = -2,5$.