Đúng/Sai · Câu 10
Cho hàm số $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l} \frac{\sqrt{x+1}-2}{x-3},\,khi\,x>3 \\ x+m,\,khi\,x\leq 3 \end{array}\right.$ với $m$ là tham số.
Chọn Đúng hoặc Sai cho từng ý.
Xem đáp án và lời giải
Kết quả từng mệnh đề
- a. Đúng
- b. Đúng
- c. Sai
- d. Đúng
Lời giải
Lời giải
a) Đúng. Hàm số có tập xác định $D=\mathbb{R}$.
b) Đúng
$$\mathop{\lim}\limits_{x\to 8}f(x)=\mathop{\lim}\limits_{x\to 8}\frac{\sqrt{x+1}-2}{x-3}=\frac{\sqrt{9}-2}{8-3}=\frac{1}{5}.$$
c) Sai
$$\mathop{\lim}\limits_{x\to 3^{+}}f(x)=\mathop{\lim}\limits_{x\to 3^{+}}\frac{\sqrt{x+1}-2}{x-3}=\mathop{\lim}\limits_{x\to 3^{+}}\frac{x+1-4}{(x-3)(\sqrt{x+1}+2)}=\mathop{\lim}\limits_{x\to 3^{+}}\frac{1}{\sqrt{x+1}+2}=\frac{1}{4}.$$
$$\mathop{\lim}\limits_{x\to 3^{-}}f(x)=\mathop{\lim}\limits_{x\to 3^{-}}(x+m)=3+m.$$
Hàm số có giới hạn tại $x=3$ khi $\frac{1}{4}=3+m \Leftrightarrow m=-\frac{11}{4}.$
d) Đúng
$$\mathop{\lim}\limits_{x\to 0}\frac{f^{2}(x)+f(x)}{x}=\mathop{\lim}\limits_{x\to 0}\frac{(x+m)^{2}+x+m}{x}=\mathop{\lim}\limits_{x\to 0}\frac{x^{2}+(2m+1)x+m^{2}+m}{x}.$$
Để giới hạn là hữu hạn thì $m^{2}+m=0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} m=0 \\ m=-1 \end{array}\right..$
Với $m=0$, $\lim=1$. Với $m=-1$, $\lim=-1$. Vậy có 2 giá trị.