Trả lời ngắn · Câu 9
Cho $ \lim\limits_{ x\to 1 } \left ( { \frac { \sqrt[] { x ^ { 2 } +x+2 }-\sqrt[3] { 2x ^ { 3 } +5x+1 } } { x ^ { 2 } -1 } } \right )=\frac { a } { b } $ ($ \frac { a } { b } $ là phân số tối giản, $ a $ và $ b $ nguyên). Tính tổng $ L=a ^ { 2 } +b ^ { 2 } $.
Xem đáp án và lời giải
Đáp án chấp nhận
- $ 145 $
Lời giải
+) Ta có: $ I=\lim\limits_{ x\to 1 } \left ( { \frac { \sqrt[] { x ^ { 2 } +x+2 }-\sqrt[3] { 2x ^ { 3 } +5x+1 } } { x ^ { 2 } -1 } } \right ) $ $ =\lim\limits_{ x\to 1 } \left ( { \frac { \sqrt[] { x ^ { 2 } +x+2 }-2+2-\sqrt[3] { 2x ^ { 3 } +5x+1 } } { x ^ { 2 } -1 } } \right ) $
+) $ \lim\limits_{ x\to 1 } \frac { \sqrt[] { x ^ { 2 } +x+2 }-2 } { x ^ { 2 } -1 } $ $ =\lim\limits_{ x\to 1 } \frac { \left ( { \sqrt[] { x ^ { 2 } +x+2 }-2 } \right )\left ( { \sqrt[] { x ^ { 2 } +x+2 }+2 } \right ) } { \left ( { x ^ { 2 } -1 } \right )\left ( { \sqrt[] { x ^ { 2 } +x+2 }+2 } \right ) } $ $ =\lim\limits_{ x\to 1 } \frac { \left ( { x ^ { 2 } +x-2 } \right ) } { \left ( { x ^ { 2 } -1 } \right )\left ( { \sqrt[] { x ^ { 2 } +x+2 }+2 } \right ) } $
$ =\lim_{ x\to 1 } \frac { \left ( { x-1 } \right )\left ( { x+2 } \right ) } { \left ( { x-1 } \right )\left ( { x+1 } \right )\left ( { \sqrt[] { x ^ { 2 } +x+2 }+2 } \right ) } $ $ =\lim_{ x\to 1 } \frac { x+2 } { \left ( { x+1 } \right )\left ( { \sqrt[] { x ^ { 2 } +x+2 }+2 } \right ) }=\frac { 3 } { 8 } $.
+) $ \lim_{ x\to 1 } \frac { 2-\sqrt[3] { 2x ^ { 3 } +5x+1 } } { x ^ { 2 } -1 } $ $ =\lim_{ x\to 1 } \frac { \left ( { 2-\sqrt[3] { 2x ^ { 3 } +5x+1 } } \right )\left ( { 4+2\sqrt[3] { 2x ^ { 3 } +5x+1 }+\sqrt[3] { \left ( { 2x ^ { 3 } +5x+1 } \right ) ^ { 2 } } } \right ) } { \left ( { x ^ { 2 } -1 } \right )\left ( { 4+2\sqrt[3] { 2x ^ { 3 } +5x+1 }+\sqrt[3] { \left ( { 2x ^ { 3 } +5x+1 } \right ) ^ { 2 } } } \right ) } $
$ =\lim_{ x\to 1 } \frac { -2x ^ { 3 } -5x+7 } { \left ( { x ^ { 2 } -1 } \right )\left ( { 4+2\sqrt[3] { 2x ^ { 3 } +5x+1 }+\sqrt[3] { \left ( { 2x ^ { 3 } +5x+1 } \right ) ^ { 2 } } } \right ) } $
$ =\lim_{ x\to 1 } \frac { \left ( { x-1 } \right )\left ( { -2x ^ { 2 } -2x-7 } \right ) } { \left ( { x-1 } \right )\left ( { x+1 } \right )\left ( { 4+2\sqrt[3] { 2x ^ { 3 } +5x+1 }+\sqrt[3] { \left ( { 2x ^ { 3 } +5x+1 } \right ) ^ { 2 } } } \right ) } $
$ =\lim_{ x\to 1 } \frac { -2x ^ { 2 } -2x-7 } { \left ( { x+1 } \right )\left ( { 4+2\sqrt[3] { 2x ^ { 3 } +5x+1 }+\sqrt[3] { \left ( { 2x ^ { 3 } +5x+1 } \right ) ^ { 2 } } } \right ) }=-\frac { 11 } { 24 } $.
Ta có $ I=\frac { 3 } { 8 }-\frac { 11 } { 24 }=-\frac { 1 } { 12 } $. Suy ra $ a=-1 $, $ b=12 $.
Vậy $ L=a ^ { 2 } +b ^ { 2 } =1+144=145 $.