Bài tập nâng cao · Bài 9
Bài tập nâng cao Phép chiếu vuông góc. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng · Bài 9
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy, $SA=a\sqrt{2}$. Gọi $M$, $N$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm $A$ trên các cạnh $SB$, $SD$. Góc giữa mặt phẳng $\left( AMN \right)$ và đường thẳng $SB$ bằng
Xem lời giải
Lời giải
Ta có $BC\perp\left( SAB \right)$$\Rightarrow BC\perp AM$$\Rightarrow AM\perp\left( SBC \right)$$\Rightarrow AM\perp SC$. Tương tự ta cũng có $AN\perp SC$$\Rightarrow \left( AMN \right)\perp SC$. Gọi $\varphi$ là góc giữa đường thẳng $SB$ và $\left( AMN \right)$.
Chuẩn hóa và chọn hệ trục tọa độ sao cho $A\left( 0;0;0 \right)$, $B\left( 0;1;0 \right)$, $D\left( 1;0;0 \right)$, $S\left( 0;0;\sqrt{2} \right)$,
$C\left( 1;1;0 \right)$, $\overrightarrow{SC}=\left( 1;1;-\sqrt{2} \right)$, $\overrightarrow{SB}=\left( 0;1;-\sqrt{2} \right)$. Do $\left( AMN \right)\perp SC$ nên $\left( AMN \right)$ có vtpt $\overrightarrow{SC}$
$\sin\varphi=$$\frac{\left| 3 \right|}{2\sqrt{3}}$$=\frac{\sqrt{3}}{2}$$\Rightarrow \varphi=60^{\circ}$.