Bài tự luận · Bài 2
Bài tự luận Ôn tập Dãy số – Cấp số cộng – Cấp số nhân 11 · Bài 2
Chứng minh rằng:
a) Nếu $ a_{ 1 } ,a_{ 2 } ,a_{ 3 } ,\ldots $ và $ b_{ 1 } ,b_{ 2 } ,b_{ 3 } ,\ldots $ là hai cấp số cộng thì $ a_{ 1 } +b_{ 1 } ,a_{ 2 } +b_{ 2 } ,a_{ 3 } +b_{ 3 } ,\ldots $ cũng là cấp số cộng.
b) Nếu $ a_{ 1 } ,a_{ 2 } ,a_{ 3 } ,\ldots $ và $ b_{ 1 } ,b_{ 2 } ,b_{ 3 } ,\ldots $ là hai cấp số nhân thì $ a_{ 1 } b_{ 1 } ,a_{ 2 } b_{ 2 } ,a_{ 3 } b_{ 3 } ,\ldots $ cũng là cấp số nhân.
a) Nếu $ a_{ 1 } ,a_{ 2 } ,a_{ 3 } ,\ldots $ và $ b_{ 1 } ,b_{ 2 } ,b_{ 3 } ,\ldots $ là hai cấp số cộng thì $ a_{ 1 } +b_{ 1 } ,a_{ 2 } +b_{ 2 } ,a_{ 3 } +b_{ 3 } ,\ldots $ cũng là cấp số cộng.
b) Nếu $ a_{ 1 } ,a_{ 2 } ,a_{ 3 } ,\ldots $ và $ b_{ 1 } ,b_{ 2 } ,b_{ 3 } ,\ldots $ là hai cấp số nhân thì $ a_{ 1 } b_{ 1 } ,a_{ 2 } b_{ 2 } ,a_{ 3 } b_{ 3 } ,\ldots $ cũng là cấp số nhân.
Xem lời giải
Lời giải
a) Theo giả thiết, dãy số $ a_{ n } $ là cấp số cộng với công sai $ d_{ 1 } $ nên $ a_{ n+1 } =a_{ n } +d_{ 1 } \forall n\geq 1 $ và dãy số $ b_{ n } $ là cấp số cộng với công sai $ d_{ 2 } $ nên $ b_{ n+1 } =b_{ n } +d_{ 2 } \forall n\geq 1 $.
Khi đó $ \left ( { a_{ n+1 } +b_{ n+1 } } \right )=\left ( { a_{ n } +b_{ n } } \right )+d_{ 1 } +d_{ 2 } \forall n\geq 1 $.
Vậy dãy số $ \left ( { a_{ n } +b_{ n } } \right ) $ là cấp số cộng với công sai $ d_{ 1 } +d_{ 2 } $.
b) Theo giả thiết, dãy số $ a_{ n } $ là cấp số nhân với công bội $ q_{ 1 } $ nên $ a_{ n+1 } =a_{ n } q_{ 1 } \forall n\geq 1 $ và dãy số $ b_{ n } $ là cấp số nhân với công bội $ q_{ 2 } $ nên $ b_{ n+1 } =b_{ n } q_{ 2 } \forall n\geq 1 $.
Khi đó $ \left ( { a_{ n+1 } b_{ n+1 } } \right )=\left ( { a_{ n } b_{ n } } \right )q_{ 1 } q_{ 2 } \forall n\geq 1 $.
Vậy dãy số $ \left ( { a_{ n } b_{ n } } \right ) $ là cấp số nhân với công bội $ q_{ 1 } q_{ 2 } $.
Khi đó $ \left ( { a_{ n+1 } +b_{ n+1 } } \right )=\left ( { a_{ n } +b_{ n } } \right )+d_{ 1 } +d_{ 2 } \forall n\geq 1 $.
Vậy dãy số $ \left ( { a_{ n } +b_{ n } } \right ) $ là cấp số cộng với công sai $ d_{ 1 } +d_{ 2 } $.
b) Theo giả thiết, dãy số $ a_{ n } $ là cấp số nhân với công bội $ q_{ 1 } $ nên $ a_{ n+1 } =a_{ n } q_{ 1 } \forall n\geq 1 $ và dãy số $ b_{ n } $ là cấp số nhân với công bội $ q_{ 2 } $ nên $ b_{ n+1 } =b_{ n } q_{ 2 } \forall n\geq 1 $.
Khi đó $ \left ( { a_{ n+1 } b_{ n+1 } } \right )=\left ( { a_{ n } b_{ n } } \right )q_{ 1 } q_{ 2 } \forall n\geq 1 $.
Vậy dãy số $ \left ( { a_{ n } b_{ n } } \right ) $ là cấp số nhân với công bội $ q_{ 1 } q_{ 2 } $.