Tìm $m$ để phương trình $|x^2+x|=|mx^2-(m+1)x-2m-1|$ có ba nghiệm phân biệt.

Question

DẠNG 1. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Để giải phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối (GTTĐ) ta tìm cách để khử dấu GTTĐ, bằng cách. • Dùng định nghĩa hoặc tính chất của GTTĐ. 1. Định nghĩa $|A|=\left\{\begin{array}{l}A 	ext{ khi } A \geq 0 \ -A 	ext{ khi } A<0\end{array}ight.$ 2. Tính chất $|A| \geq 0; \ \forall A$ $|A|\cdot|B|=|A\cdot B|; \ |A|^2=A^2$. $|A+B|=|A|+|B| \Leftrightarrow A\cdot B \geq 0$. $|A-B|=|A|+|B| \Leftrightarrow A\cdot B \leq 0$. $|A+B|=\big||A|-|B|\big| \Leftrightarrow A\cdot B \leq 0$. $|A-B|=\big||A|-|B|\big| \Leftrightarrow A\cdot B \geq 0$. • Bình phương hai vế. • Đặt ẩn phụ. Một số dạng thường gặp: Dạng 1. $|f(x)|=g(x) \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}f(x) \geq 0 \ f(x)=g(x)\end{array}ight. \ \left\{\begin{array}{l}f(x)<0 \ -f(x)=g(x)\end{array}ight.\end{array}ight. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}g(x) \geq 0 \ \left[\begin{array}{l}f(x)=g(x) \ f(x)=-g(x)\end{array}ight.\end{array}ight.$ Dạng 2. $|f(x)|=|g(x)| \Leftrightarrow [f(x)]^2=[g(x)]^2 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}f(x)=g(x) \ f(x)=-g(x)\end{array}ight.$. Dạng 3. $a|f(x)|+b|g(x)|=h(x)$. Tìm $m$ để phương trình $|x^2+x|=|mx^2-(m+1)x-2m-1|$ có ba nghiệm phân biệt.

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: Ta có: $|x^2+x|=|mx^2-(m+1)x-2m-1| \ (*)$. $\Leftrightarrow |x(x+1)|=|(x+1)(mx-2m-1)|$ $\Leftrightarrow |x+1|[|x|-|mx-2m-1|]=0$ $\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x=-1 \ |x|=|mx-2m-1|\end{array}ight.$ $\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x=-1 \ mx-2m-1=x \ mx-2m-1=-x\end{array}ight.$ $\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x=-1 \ (m-1)x=1+2m \ (1) \ (m+1)x=1+2m \ (2)\end{array}ight.$. Nếu $m=1$ thì phương trình $(1)$ vô nghiệm, khi đó phương trình $(*)$ không thể có ba nghiệm phân biệt. Nếu $m=-1$ thì phương trình $(2)$ vô nghiệm, khi đó phương trình $(*)$ không thể có ba nghiệm phân biệt. Nếu $m 
eq \pm1$ thì $(1) \Leftrightarrow x=\frac{1+2m}{m-1}$ và $(2) \Leftrightarrow x=\frac{1+2m}{m+1}$. Phương trình $(*)$ có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi $\left\{\begin{array}{l}\frac{1+2m}{m-1} 
eq -1 \ \frac{1+2m}{m+1} 
eq -1 \ \frac{1+2m}{m-1} 
eq \frac{1+2m}{m+1}\end{array}ight. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}m 
eq 0 \ m 
eq -\frac{2}{3} \ m 
eq -\frac{1}{2}\end{array}ight.$. Vậy với $m 
otin \left\{-1; -\frac{1}{2}; -\frac{2}{3}; 0; 1ight\}$ thì phương trình có ba nghiệm phân biệt.

Bài tập nâng cao Phương trình quy về phương trình bậc hai · Bài 5