Bài tự luận · Bài 28
Bài tự luận Một số bài toán thuộc chuyên đề Toán học 10–11–12 · Bài 28
Cam xuất khẩu được đóng thành từng thùng. Xác suất để một quả cam không đạt chất lượng là 0,03. Vì số lượng cam trong mỗi thùng rất lớn nên không thể kiểm tra toàn bộ số cam trong thùng, người ta lấy ngẫu nhiên từ thùng cam 20 lần một cách độc lập, mỗi lần lấy 1 quả để kiểm tra rồi trả lại nó vào thùng. Gọi $ X $ là số quả cam không đạt chất lượng.
a) Gọi tên phân bố xác suất biến ngẫu nhiên $ X $.
b) Các thùng cam được phân thành ba loại theo cách sau:
Trong 20 lần lấy đó:
- Nếu tất cả các quả cam lấy ra đều đạt chất lượng thì thùng được xếp loại I;
- Nếu có 1 hoặc 2 quả cam không đạt chất lượng thì thùng được xếp loại II;
- Nếu có ít nhất 3 quả cam không đạt chất lượng thì thùng được xếp loại III.
Tính tỉ lệ các thùng cam được xếp loại I, II, III.
a) Gọi tên phân bố xác suất biến ngẫu nhiên $ X $.
b) Các thùng cam được phân thành ba loại theo cách sau:
Trong 20 lần lấy đó:
- Nếu tất cả các quả cam lấy ra đều đạt chất lượng thì thùng được xếp loại I;
- Nếu có 1 hoặc 2 quả cam không đạt chất lượng thì thùng được xếp loại II;
- Nếu có ít nhất 3 quả cam không đạt chất lượng thì thùng được xếp loại III.
Tính tỉ lệ các thùng cam được xếp loại I, II, III.
Xem lời giải
Lời giải
a) Gọi $ X $ là số quả cam không đạt chất lượng trong 20 lần chọn đó.
$ X $ là biến ngẫu nhiên có phân bố nhị thức với $ n=20,p=0,03 $.
b) Gọi $ A $ là biến cố: "Thùng cam được xếp loại I".
$ P(A)=P(X=0)=C_{ 20 } ^{ 0 }\cdot 0,03 ^ { 0 } \cdot 0,97 ^ { 20 } =0,97 ^ { 20 } \approx 0,5438. $
Gọi $ B $ là biến cố: "Thùng cam được xếp loại II". Ta có $ B=\{X=1\}\cup \{X=2\} $
$ \Rightarrow P(B)=P(X=1)+P(X=2)=C_{ 20 } ^{ 1 }\cdot 0,03 ^ { 1 } \cdot 0,97 ^ { 19 } +C_{ 20 } ^{ 2 }\cdot 0,03 ^ { 2 } \cdot 0,97 ^ { 18 } \\ =20\cdot 0,03\cdot 0,97 ^ { 19 } +190\cdot 0,03 ^ { 2 } \cdot 0,97 ^ { 18 } \approx 0,4352 $
Gọi $ C $ là biến cố: "Thùng cam được xếp loại III". $ C $ là biến cố: "Có ít nhất 3 quả cam không đạt chất lượng". Ta có $ C=\{X\geq 3\} $. Xét biến cố đối $ \bar C=\{X\leq 2\} $. Theo chú ý về phân bố nhị thức ta có:
$ P(X\leq 2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2) $. Do đó $ P(C)=1-P(\bar C)=1-P(X\leq 2) \\ =1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=2) $
Theo trên ta có $ P(X=0)=P(A),P(X=1)+P(X=2)=P(B) $.
Vậy $ P(C)=1-P(A)-P(B)=1-0,5438-0,4352=0,021 $.
Vậy tỉ lệ các thùng cam được xếp loại I, II, III tương ứng là $ 54,38\%;43,52\% $ và $ 2,1\% $.
$ X $ là biến ngẫu nhiên có phân bố nhị thức với $ n=20,p=0,03 $.
b) Gọi $ A $ là biến cố: "Thùng cam được xếp loại I".
$ P(A)=P(X=0)=C_{ 20 } ^{ 0 }\cdot 0,03 ^ { 0 } \cdot 0,97 ^ { 20 } =0,97 ^ { 20 } \approx 0,5438. $
Gọi $ B $ là biến cố: "Thùng cam được xếp loại II". Ta có $ B=\{X=1\}\cup \{X=2\} $
$ \Rightarrow P(B)=P(X=1)+P(X=2)=C_{ 20 } ^{ 1 }\cdot 0,03 ^ { 1 } \cdot 0,97 ^ { 19 } +C_{ 20 } ^{ 2 }\cdot 0,03 ^ { 2 } \cdot 0,97 ^ { 18 } \\ =20\cdot 0,03\cdot 0,97 ^ { 19 } +190\cdot 0,03 ^ { 2 } \cdot 0,97 ^ { 18 } \approx 0,4352 $
Gọi $ C $ là biến cố: "Thùng cam được xếp loại III". $ C $ là biến cố: "Có ít nhất 3 quả cam không đạt chất lượng". Ta có $ C=\{X\geq 3\} $. Xét biến cố đối $ \bar C=\{X\leq 2\} $. Theo chú ý về phân bố nhị thức ta có:
$ P(X\leq 2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2) $. Do đó $ P(C)=1-P(\bar C)=1-P(X\leq 2) \\ =1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=2) $
Theo trên ta có $ P(X=0)=P(A),P(X=1)+P(X=2)=P(B) $.
Vậy $ P(C)=1-P(A)-P(B)=1-0,5438-0,4352=0,021 $.
Vậy tỉ lệ các thùng cam được xếp loại I, II, III tương ứng là $ 54,38\%;43,52\% $ và $ 2,1\% $.