Bài tự luận · Bài 26
Dạng 2. Phép chiếu vuông góc
Bài tự luận Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng · Bài 26
(CD11) Cho hình chóp $S.ABCD$ có $ABCD$ là hình chữ nhật và $SA\perp (ABCD)$. Gọi $B^{′} ,C^{′} ,D^{′}$ lần lượt là hình chiếu của $A$ trên $SB,SC,SD$.
Chứng minh rằng:
a) $SC\perp \left( AB^{′} C^{′} \right)$ và $SC\perp \left( AC^{′} D^{′} \right)$;
b) Bốn điểm $A,B^{′} ,C^{′} ,D^{′}$ cùng nằm trên một mặt phẳng.
Chứng minh rằng:
a) $SC\perp \left( AB^{′} C^{′} \right)$ và $SC\perp \left( AC^{′} D^{′} \right)$;
b) Bốn điểm $A,B^{′} ,C^{′} ,D^{′}$ cùng nằm trên một mặt phẳng.
Xem lời giải
Lời giải
a) Vì $SA\perp (ABCD)$ và $BC\subset (ABCD)$ nên $SA\perp BC$. Mà $BC\perp BA$ vì $ABCD$ là hình chữ nhật và $SA,BA$ cắt nhau trong mặt phẳng $(SAB)$. Suy ra $BC\perp (SAB)$.
Ngoài ra, $AB^{′} \subset (SAB)$ nên $BC\perp AB^{′}$. Mà $AB^{′} \perp SB$ và $SB,BC$ cắt nhau trong mặt phẳng $(SBC)$ nên $AB^{′} \perp (SBC)$.
Vì $SC\subset (SBC)$ nên $AB^{′} \perp SC$. Mà $SC\perp AC^{′}$ và $AB^{′} ,AC^{′}$ cắt nhau trong mặt phẳng $\left( AB^{′} C^{′} \right)$ nên $SC\perp \left( AB^{′} C^{′} \right)$.
Tương tự ta chứng minh được $SC\perp \left( AC^{′} D^{′} \right)$.
b) Vì hai mặt phẳng $\left( AB^{′} C^{′} \right)$ và $\left( AC^{′} D^{′} \right)$ cùng đi qua điểm $A$ và vuông góc với $SC$ nên hai mặt phẳng này trùng nhau. Vậy bốn điểm $A,B^{′} ,C^{′} ,D^{′}$ cùng nằm trên một mặt phẳng.