Bài tự luận · Bài 2
Dạng 1. Xác định phương trình chính tắc của ba đường conic
Bài tự luận Ba đường conic · Bài 2
Lập phương trình chính tắc của mỗi đường conic trong các trường hợp sau:
a) Elip có một tiêu điểm là $F_2(3;0)$ và đi qua điểm $A(11;0)$;
b) Elip đi qua hai điểm $M(0;3)$ và $N\left(3;-\dfrac{12}{5}\right)$;
c) Hypebol có một tiêu điểm là $F_2(2;0)$ và đi qua điểm $A(1;0)$;
d) Parabol có tiêu điểm là $F(8;0)$.
a) Elip có một tiêu điểm là $F_2(3;0)$ và đi qua điểm $A(11;0)$;
b) Elip đi qua hai điểm $M(0;3)$ và $N\left(3;-\dfrac{12}{5}\right)$;
c) Hypebol có một tiêu điểm là $F_2(2;0)$ và đi qua điểm $A(1;0)$;
d) Parabol có tiêu điểm là $F(8;0)$.
Xem lời giải
Lời giải
a) Gọi elip cần lập phương trình chính tắc là $(E)$. Elip $(E)$ có phương trình chính tắc là: $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\ (a>b>0)$.
Do $F_2(3;0)$ là một tiêu điểm của $(E)$ nên $c=3$.
Điểm $A(11;0)$ nằm trên $(E)$ nên $\dfrac{11^2}{a^2}+\dfrac{0^2}{b^2}=1$.
Do đó $a^2=121$, suy ra $b^2=a^2-c^2=121-9=112$.
Vậy elip $(E)$ có phương trình chính tắc là: $\dfrac{x^2}{121}+\dfrac{y^2}{112}=1$.
b) Gọi elip cần lập phương trình chính tắc là $(E)$. Elip $(E)$ có phương trình chính tắc là: $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\ (a>b>0)$.
Điểm $M(0;3)$ nằm trên $(E)$ nên $\dfrac{0^2}{a^2}+\dfrac{3^2}{b^2}=1$. Do đó $b^2=9$.
Điểm $N\left(3;-\dfrac{12}{5}\right)$ nằm trên $(E)$ nên: $\dfrac{3^2}{a^2}+\dfrac{\left(-\dfrac{12}{5}\right)^2}{9}=1\Leftrightarrow\dfrac9{a^2}+\dfrac{144}{225}=1\Leftrightarrow\dfrac9{a^2}=\dfrac{81}{225}\Leftrightarrow a^2=25$.
Vậy elip $(E)$ có phương trình chính tắc là: $\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{9}=1$.
c) Gọi hypebol cần lập phương trình chính tắc là $(H)$. Hypebol $(H)$ có phương trình chính tắc là:
$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1\ (a>0,b>0)$
Do $F_2(2;0)$ là một tiêu điểm của $(H)$ nên $c=2$.
Điểm $A(1;0)$ nằm trên $(H)$ nên $\dfrac{1^2}{a^2}-\dfrac{0^2}{b^2}=1$.
Do đó $a^2=1$, suy ra $b^2=c^2-a^2=4-1=3$.
Vậy hypebol $(H)$ có phương trình chính tắc là: $\dfrac{x^2}{1}-\dfrac{y^2}{3}=1$.
d) Gọi parabol cần lập phương trình chính tắc là $(P)$. Parabol $(P)$ có phương trình chính tắc là: $y^2=2px$.
Do $F(8;0)$ là tiêu điểm của $(P)$ nên $\dfrac p2=8$. Suy ra $p=16$.
Vậy parabol $(P)$ có phương trình chính tắc là: $y^2=32x$.
Do $F_2(3;0)$ là một tiêu điểm của $(E)$ nên $c=3$.
Điểm $A(11;0)$ nằm trên $(E)$ nên $\dfrac{11^2}{a^2}+\dfrac{0^2}{b^2}=1$.
Do đó $a^2=121$, suy ra $b^2=a^2-c^2=121-9=112$.
Vậy elip $(E)$ có phương trình chính tắc là: $\dfrac{x^2}{121}+\dfrac{y^2}{112}=1$.
b) Gọi elip cần lập phương trình chính tắc là $(E)$. Elip $(E)$ có phương trình chính tắc là: $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\ (a>b>0)$.
Điểm $M(0;3)$ nằm trên $(E)$ nên $\dfrac{0^2}{a^2}+\dfrac{3^2}{b^2}=1$. Do đó $b^2=9$.
Điểm $N\left(3;-\dfrac{12}{5}\right)$ nằm trên $(E)$ nên: $\dfrac{3^2}{a^2}+\dfrac{\left(-\dfrac{12}{5}\right)^2}{9}=1\Leftrightarrow\dfrac9{a^2}+\dfrac{144}{225}=1\Leftrightarrow\dfrac9{a^2}=\dfrac{81}{225}\Leftrightarrow a^2=25$.
Vậy elip $(E)$ có phương trình chính tắc là: $\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{9}=1$.
c) Gọi hypebol cần lập phương trình chính tắc là $(H)$. Hypebol $(H)$ có phương trình chính tắc là:
$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1\ (a>0,b>0)$
Do $F_2(2;0)$ là một tiêu điểm của $(H)$ nên $c=2$.
Điểm $A(1;0)$ nằm trên $(H)$ nên $\dfrac{1^2}{a^2}-\dfrac{0^2}{b^2}=1$.
Do đó $a^2=1$, suy ra $b^2=c^2-a^2=4-1=3$.
Vậy hypebol $(H)$ có phương trình chính tắc là: $\dfrac{x^2}{1}-\dfrac{y^2}{3}=1$.
d) Gọi parabol cần lập phương trình chính tắc là $(P)$. Parabol $(P)$ có phương trình chính tắc là: $y^2=2px$.
Do $F(8;0)$ là tiêu điểm của $(P)$ nên $\dfrac p2=8$. Suy ra $p=16$.
Vậy parabol $(P)$ có phương trình chính tắc là: $y^2=32x$.