Bài tập nâng cao Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp · Bài 34

Đánh số ghế như hình vẽ. Khi đó, chúng ta tiến hành xếp chỗ cho $12$ học sinh đó như sau:
+ Ghế 1-1 có thể xếp bất kì học sinh của lớp nào cũng được. Do đó có: $6+6=12$( cách xếp).
+ Ghế 1-2 có thể xếp học sinh của lớp chưa ngồi ở ghế 1-1. Do đó có $6$ (cách xếp).
+ Ghế 2-1 có thể xếp bất kì học sinh của lớp nào cũng được trừ $2$ học sinh đã được xếp chỗ. Do đó có: $12-2=10$( cách xếp).
+ Ghế 2-2 có thể xếp học sinh của lớp chưa ngồi ở ghế 2-1. Do đó có $5$ (cách xếp).
+ Ghế 3-1 có thể xếp bất kì học sinh của lớp nào cũng được trừ $4$ học sinh đã được xếp chỗ. Do đó có: $12-4=8$( cách xếp).
+ Ghế 3-2 có thể xếp học sinh của lớp chưa ngồi ở ghế 3-1. Do đó có $4$ (cách xếp).
+ Ghế 4-1 có thể xếp bất kì học sinh của lớp nào cũng được trừ $6$ học sinh đã được xếp chỗ. Do đó có: $12-6=6$( cách xếp).
+ Ghế 4-2 có thể xếp học sinh của lớp chưa ngồi ở ghế 4-1. Do đó có $3$ (cách xếp).
+ Ghế 5-1 có thể xếp bất kì học sinh của lớp nào cũng được trừ $8$ học sinh đã được xếp chỗ. Do đó có: $12-8=4$( cách xếp).
+ Ghế 5-2 có thể xếp học sinh của lớp chưa ngồi ở ghế 5-1. Do đó có $2$ (cách xếp).
+ Ghế 6-1 có thể xếp bất kì học sinh của lớp nào cũng được trừ $10$ học sinh đã được xếp chỗ. Do đó có: $12-10=2$( cách xếp).
+ Ghế 6-2 chỉ có thể xếp học sinh của lớp chưa ngồi ở ghế 6-1. Do đó chỉ còn có $1$ (cách xếp).
Vậy, theo qui tắc nhân số cách xếp để hai học sinh ngồi đối diện là khác lớp là:
12.6.10.5.8.4.6.3.4.2.2.1=33177600 (cách xếp)
Cách 2:
Xếp 6 học sinh lớp 11A vào dãy ghế thứ nhất thì có $6!$ cách xếp.
Xếp 6 học sinh lớp 11B vào dãy ghế thứ hai thì có $6!$ cách xếp.
Ở các cặp ghế đối diện nhau hai bạn học sinh lớp 11A và học sinh lớp 11B có thể đổi chỗ cho nhau nên có $2 ^{6}$ cách xếp.
Vậy, số cách xếp để hai học sinh ngồi đối diện là khác lớp là:$6!.6!.2 ^{6} =33177600$(cách xếp).