Bài tự luận · Bài 2
Dạng 1. Chứng minh một dãy số là cấp số cộng Phương pháp: Với dãy số $\left( u_{n}\right)$, chứng minh hiệu $u_{n}-u_{ n-1 }$ không đổi với mọi $n\geq 2$.
Bài tự luận Cấp số cộng · Bài 2
(CD11) Cho ba số $\frac{1}{b+c},\frac{1}{c+a},\frac{1}{a+b}$ theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Chứng minh rằng ba số $a^{2},b^{2},c^{2}$ theo thứ tự cũng lập thành một cấp số cộng.
Xem lời giải
Lời giải
Do ba số $\frac{1}{b+c},\frac{1}{c+a},\frac{1}{a+b}$ theo thứ tự lập thành cấp số cộng nên $\frac{1}{c+a}-\frac{1}{b+c}=\frac{1}{a+b}-\frac{1}{c+a}\Leftrightarrow \frac{2}{c+a}=\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}$.
$\Rightarrow 2b^{2}=a^{2}+c^{2}\Leftrightarrow b^{2}-a^{2}=c^{2}-b^{2}$. Suy ra ba số $a^{2},b^{2},c^{2}$ theo thứ tự cũng lập thành một cấp số cộng.
$\Rightarrow 2b^{2}=a^{2}+c^{2}\Leftrightarrow b^{2}-a^{2}=c^{2}-b^{2}$. Suy ra ba số $a^{2},b^{2},c^{2}$ theo thứ tự cũng lập thành một cấp số cộng.