Bài tự luận · Bài 19
Dạng 2. Rút gọn biểu thức chứa luỹ thừa
Bài tự luận Lũy thừa với số mũ thực · Bài 19
(CD11) Cho $ x,y $ là các số thực dương và số thực $ a $ thoả mãn:
$ a=\sqrt{x^{2}+\sqrt[3]{x^{4}y^{2}}}+\sqrt{y^{2}+\sqrt[3]{x^{2}y^{4}}}. $ Chứng minh rằng: $ a^{\frac{2}{3}}=x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}. $
$ a=\sqrt{x^{2}+\sqrt[3]{x^{4}y^{2}}}+\sqrt{y^{2}+\sqrt[3]{x^{2}y^{4}}}. $ Chứng minh rằng: $ a^{\frac{2}{3}}=x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}. $
Xem lời giải
Lời giải
Ta có:
$ \begin{array}{ll} a & =\sqrt{\sqrt[3]{x^{6}}+\sqrt[3]{x^{4}y^{2}}}+\sqrt{\sqrt[3]{y^{6}}+\sqrt[3]{x^{2}y^{4}}} \\ & =\sqrt{\sqrt[3]{x^{4}}\left( \sqrt[3]{x^{2}}+\sqrt[3]{y^{2}} \right)}+\sqrt{\sqrt[3]{y^{4}}\left( \sqrt[3]{x^{2}}+\sqrt[3]{y^{2}} \right)} \\ & =\left( \sqrt[3]{x^{2}}+\sqrt[3]{y^{2}} \right)\sqrt{\sqrt[3]{x^{2}}+\sqrt[3]{y^{2}}}=\left( \sqrt[3]{x^{2}}+\sqrt[3]{y^{2}} \right)^{\frac{3}{2}}=\left( x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}} \right)^{\frac{3}{2}} \end{array} $
Suy ra $ a^{\frac{2}{3}}=x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}} $.
$ \begin{array}{ll} a & =\sqrt{\sqrt[3]{x^{6}}+\sqrt[3]{x^{4}y^{2}}}+\sqrt{\sqrt[3]{y^{6}}+\sqrt[3]{x^{2}y^{4}}} \\ & =\sqrt{\sqrt[3]{x^{4}}\left( \sqrt[3]{x^{2}}+\sqrt[3]{y^{2}} \right)}+\sqrt{\sqrt[3]{y^{4}}\left( \sqrt[3]{x^{2}}+\sqrt[3]{y^{2}} \right)} \\ & =\left( \sqrt[3]{x^{2}}+\sqrt[3]{y^{2}} \right)\sqrt{\sqrt[3]{x^{2}}+\sqrt[3]{y^{2}}}=\left( \sqrt[3]{x^{2}}+\sqrt[3]{y^{2}} \right)^{\frac{3}{2}}=\left( x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}} \right)^{\frac{3}{2}} \end{array} $
Suy ra $ a^{\frac{2}{3}}=x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}} $.