Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):x-2y+2z-3=0$ và hai điểm $A(1;2;3)$, $B(3;4;5)$. Gọi $M$ là một điểm di động trên mặt phẳng $(P)$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
$T=\dfrac{MA+2\sqrt3}{MB}$.
Xem lời giải
Lời giải
Ta có $\overrightarrow{AB}=(2;2;2)$ nên $AB=2\sqrt3$, đồng thời $A\in(P)$. Vì vậy
$T=\dfrac{MA+AB}{MB}$.
Trong tam giác $MAB$, đặt các góc tương ứng là $A,B,M$. Theo định lí sin,
$T=\dfrac{\sin B+\sin M}{\sin A}=\dfrac{2\cos\dfrac A2\cos\dfrac{B-M}{2}}{2\sin\dfrac A2\cos\dfrac A2}=\dfrac{\cos\dfrac{B-M}{2}}{\sin\dfrac A2}\leq\dfrac1{\sin\dfrac A2}$.
Dấu bằng trong bước đánh giá góc xảy ra khi $AB=AM$ và $\widehat{ABM}=\widehat{ABH}$, với $H$ là hình chiếu của $B$ lên $(P)$.
Mặt khác $d(B,(P))=\dfrac23$. Từ cấu hình đạt dấu bằng suy ra
$BM=\sqrt{\dfrac{24\sqrt3-8\sqrt{26}}{\sqrt3}}$.
Do đó
$T_{\max}=\sqrt{54+6\sqrt{78}}$.
