Bài tự luận · Bài 21
Dạng 2. Tìm điều kiện để hai vectơ bằng nhau, ba điểm thẳng hàng Phương pháp: Với $a=(x_1;y_1);b=(x_2;y_2)$, ta có $a=b\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x_1=x_2\\y_1=y_2\end{array}\right.$. $A,B,C$ thẳng hàng $\Leftrightarrow$ Tồn tại $k\in\mathbb{R}$ sao cho $\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{AC}$.
Bài tự luận Vectơ trong mặt phẳng tọa độ · Bài 21
Cho tam giác $ABC$ có toạ độ các đỉnh là $A(1;1),B(7;3),C(4;7)$ và cho các điểm $M(2;3),N(3;5)$.
a) Chứng minh bốn điểm $A,M,N,C$ thẳng hàng.
b) Chứng minh trọng tâm của các tam giác $ABC$ và $MNB$ trùng nhau.
a) Chứng minh bốn điểm $A,M,N,C$ thẳng hàng.
b) Chứng minh trọng tâm của các tam giác $ABC$ và $MNB$ trùng nhau.
Xem lời giải
Lời giải
a) Ta có $\overrightarrow{AC}=(3;6);\overrightarrow{AM}=(1;2);\overrightarrow{AN}=(2;4)$;
$\overrightarrow{AC}=3\overrightarrow{AM}=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AN}$, suy ra bốn điểm $A,M,N,C$ thẳng hàng.
b) Gọi $G$ và $G'$ lần lượt là trọng tâm của các tam giác $ABC$ và $MNB$, ta có: $\left\{\begin{array}{l}x_G=\dfrac{x_A+x_B+x_C}{3}=\dfrac{1+7+4}{3}=4\\y_G=\dfrac{y_A+y_B+y_C}{3}=\dfrac{1+3+7}{3}=\dfrac{11}{3}\end{array}\right.$, $\left\{\begin{array}{l}x_{G'}=\dfrac{x_M+x_N+x_B}{3}=\dfrac{2+3+7}{3}=4\\y_{G'}=\dfrac{y_M+y_N+y_B}{3}=\dfrac{3+5+3}{3}=\dfrac{11}{3}.\end{array}\right.$
Suy ra $G$ và $G'$ trùng nhau.
$\overrightarrow{AC}=3\overrightarrow{AM}=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AN}$, suy ra bốn điểm $A,M,N,C$ thẳng hàng.
b) Gọi $G$ và $G'$ lần lượt là trọng tâm của các tam giác $ABC$ và $MNB$, ta có: $\left\{\begin{array}{l}x_G=\dfrac{x_A+x_B+x_C}{3}=\dfrac{1+7+4}{3}=4\\y_G=\dfrac{y_A+y_B+y_C}{3}=\dfrac{1+3+7}{3}=\dfrac{11}{3}\end{array}\right.$, $\left\{\begin{array}{l}x_{G'}=\dfrac{x_M+x_N+x_B}{3}=\dfrac{2+3+7}{3}=4\\y_{G'}=\dfrac{y_M+y_N+y_B}{3}=\dfrac{3+5+3}{3}=\dfrac{11}{3}.\end{array}\right.$
Suy ra $G$ và $G'$ trùng nhau.