Bài tự luận · Bài 20
Dạng 3. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng Có 2 phương pháp tìm giao tuyến $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$. + Tìm 2 điểm chung. + Tìm bằng định lý giao tuyến $\left\{ \begin{array}{l} a\subset \left( P \right),\,b\subset \left( Q \right) \\ a \parallel b \\ \left( P \right)∩\left( Q \right)=c \end{array} \right.\Rightarrow c \parallel a \parallel b$. [IMAGE:question_images/11-11. HAI DUONG THANG SONG SONG/B. TU LUAN/image302.png] Bài toán tổng quát: Dựng $\left( P \right)$ qua $M$ và $\parallel a,\,b$. [IMAGE:question_images/11-11. HAI DUONG THANG SONG SONG/B. TU LUAN/image306.png] + Qua $M$ dựng $a' \parallel a$ <Đúng + Đủ> + Qua $M$ dựng $b' \parallel b$ <Đúng + Đủ> $\Rightarrow \left( P \right)≡\left( a',\,b' \right)$.
Bài tự luận Hai đường thẳng song song · Bài 20
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(IJG)$.
b) Tìm điều kiện của $AB$ và $CD$ để các giao tuyến của mặt phẳng $(IJG)$ với các mặt của hình chóp tạo thành một hình bình hành.
Xem lời giải
Lời giải
a) Ta có $IJ$ là đường trung bình của hình thang $ABCD$ nên $AB \parallel IJ$.
Ta có $G\in (SAB)\cap (IJG);AB\subset (SAB);IJ\subset (IJG)$; $AB \parallel IJ$.
Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng $(SAB)$ và $\left( IJG \right)$ là $MN$ với $MN \parallel IJ \parallel AB$, sao cho $M\in SA$, $N\in SB$.
b) Dễ thấy giao tuyến của mặt phẳng $\left( IJG \right)$ với các mặt của hình chóp là tứ giác $MNJI$.
Do $G$ là trọng tâm của tam giác $SAB$ và $MN \parallel AB$ nên $\frac{MN}{AB}=\frac{SG}{SE}=\frac{2}{3}$ ($E$ là trung điểm của $AB$) suy ra $MN=\frac{2}{3}AB$.
Ta lại có $IJ=\frac{1}{2}(AB+CD)$. Vì $MN \parallel IJ$ nên $MNJI$ là hình thang, do đó $MNJI$ là hình bình hành khi $MN=IJ\Leftrightarrow \frac{2}{3}AB=\frac{1}{2}(AB+CD)\Leftrightarrow AB=3CD$.
Vậy giao tuyến của mặt phẳng $(IJG)$ với các mặt của hình chóp tạo thành một hình bình hành khi $AB=3CD$.