Bài tập nâng cao · Bài 33
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 33
Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có $\int_0^3f(x)\,dx=-1$, $\int_0^5f(x)\,dx=5$. Tính $I=\int_{-2}^{2}f(|2x-1|)\,dx$.
Xem lời giải
Lời giải
Có $ I=\int _{ -2 }^{ 2 } { f\left ( { \left | { 2x-1 } \right | } \right ){ \rm{ d } }x }=\int _{ -2 }^{ \frac { 1 } { 2 } } { f\left ( { 1-2x } \right ){ \rm{ d } }x }+\int _{ \frac { 1 } { 2 } }^{ 2 } { f\left ( { 2x-1 } \right ){ \rm{ d } }x }=I_{ 1 } +I_{ 2 } $
Tính $ I_{ 1 } =\int _{ -2 }^{ \frac { 1 } { 2 } } { f\left ( { 1-2x } \right ){ \rm{ d } }x } $.Đặt $ u=1-2x\Rightarrow { \rm{ d } }u=-2\,{ \rm{ d } }x\Rightarrow dx=-\frac { 1 } { 2 }du $.
Đổi cận: $ \left \{ \begin{array}{l} x=-2\Rightarrow u=5 \\ x=\frac { 1 } { 2 }\Rightarrow u=0 \end{array} \right. $.
$ \Rightarrow I_{ 1 } =\frac { -1 } { 2 }\int _{ 5 }^{ 0 } { f\left ( { u } \right )\,{ \rm{ d } }{ \rm{ u } } }=\frac { 1 } { 2 }\int _{ 0 }^{ 5 } { f\left ( { u } \right )\,{ \rm{ d } }{ \rm{ u } } }=\frac { 5 } { 2 } $
Tính $ I_{ 2 } =\int _{ \frac { 1 } { 2 } }^{ 2 } { f\left ( { 2x-1 } \right ){ \rm{ d } }x } $. Đặt $ t=2x-1\Rightarrow { \rm{ d } }{ \rm{ t } }=2\,{ \rm{ d } }x\Rightarrow dx=\frac { 1 } { 2 }dt $.
Đổi cận: $ \left \{ \begin{array}{l} x=2\Rightarrow t=3 \\ x=\frac { 1 } { 2 }\Rightarrow t=0 \end{array} \right. $.
$ \Rightarrow I_{ 2 } =\frac { 1 } { 2 }\int _{ 0 }^{ 3 } { f\left ( { u } \right ){ \rm{ d } }{ \rm{ u } } }=-\frac { 1 } { 2 } $
Vậy $ I=I_{ 1 } +I_{ 2 } =\frac { 5 } { 2 }-\frac { 1 } { 2 }=2 $.
Tính $ I_{ 1 } =\int _{ -2 }^{ \frac { 1 } { 2 } } { f\left ( { 1-2x } \right ){ \rm{ d } }x } $.Đặt $ u=1-2x\Rightarrow { \rm{ d } }u=-2\,{ \rm{ d } }x\Rightarrow dx=-\frac { 1 } { 2 }du $.
Đổi cận: $ \left \{ \begin{array}{l} x=-2\Rightarrow u=5 \\ x=\frac { 1 } { 2 }\Rightarrow u=0 \end{array} \right. $.
$ \Rightarrow I_{ 1 } =\frac { -1 } { 2 }\int _{ 5 }^{ 0 } { f\left ( { u } \right )\,{ \rm{ d } }{ \rm{ u } } }=\frac { 1 } { 2 }\int _{ 0 }^{ 5 } { f\left ( { u } \right )\,{ \rm{ d } }{ \rm{ u } } }=\frac { 5 } { 2 } $
Tính $ I_{ 2 } =\int _{ \frac { 1 } { 2 } }^{ 2 } { f\left ( { 2x-1 } \right ){ \rm{ d } }x } $. Đặt $ t=2x-1\Rightarrow { \rm{ d } }{ \rm{ t } }=2\,{ \rm{ d } }x\Rightarrow dx=\frac { 1 } { 2 }dt $.
Đổi cận: $ \left \{ \begin{array}{l} x=2\Rightarrow t=3 \\ x=\frac { 1 } { 2 }\Rightarrow t=0 \end{array} \right. $.
$ \Rightarrow I_{ 2 } =\frac { 1 } { 2 }\int _{ 0 }^{ 3 } { f\left ( { u } \right ){ \rm{ d } }{ \rm{ u } } }=-\frac { 1 } { 2 } $
Vậy $ I=I_{ 1 } +I_{ 2 } =\frac { 5 } { 2 }-\frac { 1 } { 2 }=2 $.