Từ một vị trí $A$, người ta buộc hai sợi cáp $AB$ và $AC$ đến một cái trụ cao $15\text{ m}$, được dựng vuông góc với mặt đất, chân trụ ở vị trí $D$. Biết $CD = 9\text{ m}$ và $AD = 12\text{ m}$. Tìm góc nhọn $\alpha = \widehat{BAC}$ tạo bởi hai sợi dây cáp đó, đồng thời tính gần đúng $\alpha$ (làm tròn đến hàng phần chục, đơn vị độ).

Lời giải Coi cái trụ là đoạn thẳng $BD$ vuông góc với mặt đất tại $D$ ($D$ là chân trụ, $B$ là đỉnh trụ) với $BD = 15\text{ m}$. Điểm $C$ nằm trên trụ sao cho $CD = 9\text{ m}$. Vị trí buộc cáp dưới mặt đất là $A$ với $AD = 12\text{ m}$. Vì trụ được dựng vuông góc với mặt đất nên $BD \perp AD$. Do đó, các tam giác $\triangle ADC$ và $\triangle ADB$ là các tam giác vuông tại $D$. Xét các tam giác vuông, ta có: $$ \tan \widehat{BAD} = \frac{BD}{AD} = \frac{15}{12} = \frac{5}{4} $$ $$ \tan \widehat{CAD} = \frac{CD}{AD} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4} $$ Góc tạo bởi hai sợi dây cáp là $\alpha = \widehat{BAC} = \widehat{BAD} - \widehat{CAD}$. Áp dụng công thức biến đổi của tang, ta có: $$ \tan \alpha = \tan(\widehat{BAD} - \widehat{CAD}) = \frac{\tan \widehat{BAD} - \tan \widehat{CAD}}{1 + \tan \widehat{BAD} \cdot \tan \widehat{CAD}} $$ $$ \tan \alpha = \frac{\frac{5}{4} - \frac{3}{4}}{1 + \frac{5}{4} \cdot \frac{3}{4}} = \frac{\frac{1}{2}}{1 + \frac{15}{16}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{31}{16}} = \frac{8}{31} $$ Do đó $\alpha = \arctan\left(\frac{8}{31}\right) \approx 14,5^\circ$.