Bức tranh phong cảnh thiên nhiên là một cách gửi gắm thông điệp ý nghĩa và luôn có sức hấp dẫn đối với nhiều người. Trong một buổi học mỹ thuật, thầy An hướng dẫn rằng để vẽ một bức tranh phong cảnh đẹp thì ta cần phải phân bổ bố cục rõ ràng. Trên một bức tranh hình chữ nhật $ABCD$ có chiều dài gấp đôi chiều rộng, thầy An hướng dẫn một cách phân bổ bố cục bằng việc lấy hai điểm $E, F$ lần lượt trên hai đoạn thẳng $AD, CD$ rồi nối hai đoạn thẳng $BE, BF$ (như hình vẽ). Biết $3AE = 2AD, CF = FD$. Giá trị của $\cot \widehat{EBF}$ là bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)

Lời giải Đặt chiều rộng của hình chữ nhật là $AB = x$ ($x > 0$). Do chiều dài gấp đôi chiều rộng nên ta có $AD = 2x$. Dựa vào các tỉ lệ đoạn thẳng từ giả thiết cho, ta có: - $3AE = 2AD \Rightarrow AE = \frac{2}{3}AD = \frac{2}{3} \cdot 2x = \frac{4}{3}x$. - $CF = FD$ nên $F$ là trung điểm của $CD$, suy ra $CF = \frac{CD}{2} = \frac{AB}{2} = \frac{x}{2}$. - Cạnh đối diện của hình chữ nhật $BC = AD = 2x$. Xét các tam giác vuông $ABE$ (vuông tại $A$) và $BCF$ (vuông tại $C$), ta tính được giá trị tang của các góc tương ứng: $$\tan \widehat{ABE} = \frac{AE}{AB} = \frac{\frac{4}{3}x}{x} = \frac{4}{3}$$ $$\tan \widehat{FBC} = \frac{CF}{BC} = \frac{\frac{x}{2}}{2x} = \frac{1}{4}$$ Vì $ABCD$ là hình chữ nhật nên góc $\widehat{ABC} = 90^\circ$. Do đó: $$\widehat{ABE} + \widehat{EBF} + \widehat{FBC} = 90^\circ \Rightarrow \widehat{EBF} = 90^\circ - \left(\widehat{ABE} + \widehat{FBC}\right)$$ Áp dụng công thức biến đổi góc phụ nhau và công thức cộng đối với hàm số tang, ta có: $$\cot \widehat{EBF} = \tan\left(\widehat{ABE} + \widehat{FBC}\right) = \frac{\tan \widehat{ABE} + \tan \widehat{FBC}}{1 - \tan \widehat{ABE} \cdot \tan \widehat{FBC}} = \frac{\frac{4}{3} + \frac{1}{4}}{1 - \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{4}} = \frac{\frac{19}{12}}{\frac{2}{3}} = \frac{19}{8} \approx 2,4$$