Bài tự luận · Bài 23
Dạng 1. Xác định tâm, bán kính của mặt cầu, phương trình mặt cầu
Bài tự luận Phương trình mặt cầu · Bài 23
(KNTT12) Trong không gian $ Oxyz $, phương trình nào trong các phương trình sau là phương trình của một mặt cầu? Xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó.
a) $ x ^ { 2 } +y ^ { 2 } +z ^ { 2 } +2x-4z+2=0 $.
b) $ x ^ { 2 } +y ^ { 2 } +z ^ { 2 } -2x+2y+2z+7=0 $.
c) $ 3x ^ { 2 } +3y ^ { 2 } +3z ^ { 2 } +12x-6y+6z+2=0 $.
a) $ x ^ { 2 } +y ^ { 2 } +z ^ { 2 } +2x-4z+2=0 $.
b) $ x ^ { 2 } +y ^ { 2 } +z ^ { 2 } -2x+2y+2z+7=0 $.
c) $ 3x ^ { 2 } +3y ^ { 2 } +3z ^ { 2 } +12x-6y+6z+2=0 $.
Xem lời giải
Lời giải
a) Phương trình có các hệ số $ a=-1;b=0;c=2 $ và $ d=2 $
$ \Rightarrow a ^ { 2 } +b ^ { 2 } +c ^ { 2 } -d=3>0 $. Do đó, phương trình đã cho là phương trình mặt cầu, hơn nữa mặt cầu có tâm là $ I(-1;0;2) $, bán kính $ R=\sqrt[] { 3 } $.
b) Phương trình có các hệ số $ a=1;b=-1;c=1 $ và $ d=7 $
$ \Rightarrow a ^ { 2 } +b ^ { 2 } +c ^ { 2 } -d=-4 < 0 $.
Do đó, phương trình đã cho không phải là phương trình mặt cầu.
c) Phương trình đã cho viết dưới dạng: $ x ^ { 2 } +y ^ { 2 } +z ^ { 2 } +4x-2y+2z+\frac { 2 } { 3 }=0 $.
Phương trình vừa nhận được có các hệ số $ a=-2;b=1;c=-1 $ và $ d=\frac { 2 } { 3 } $ $ \Rightarrow a ^ { 2 } +b ^ { 2 } +c ^ { 2 } -d=\frac { 16 } { 3 }>0 $. Do đó, phương trình đã cho là phương trình mặt cầu, hơn nữa mặt cầu có tâm là $ I(-2;1;-1) $, bán kính $ R=\frac { 4\sqrt[] { 3 } } { 3 } $.
$ \Rightarrow a ^ { 2 } +b ^ { 2 } +c ^ { 2 } -d=3>0 $. Do đó, phương trình đã cho là phương trình mặt cầu, hơn nữa mặt cầu có tâm là $ I(-1;0;2) $, bán kính $ R=\sqrt[] { 3 } $.
b) Phương trình có các hệ số $ a=1;b=-1;c=1 $ và $ d=7 $
$ \Rightarrow a ^ { 2 } +b ^ { 2 } +c ^ { 2 } -d=-4 < 0 $.
Do đó, phương trình đã cho không phải là phương trình mặt cầu.
c) Phương trình đã cho viết dưới dạng: $ x ^ { 2 } +y ^ { 2 } +z ^ { 2 } +4x-2y+2z+\frac { 2 } { 3 }=0 $.
Phương trình vừa nhận được có các hệ số $ a=-2;b=1;c=-1 $ và $ d=\frac { 2 } { 3 } $ $ \Rightarrow a ^ { 2 } +b ^ { 2 } +c ^ { 2 } -d=\frac { 16 } { 3 }>0 $. Do đó, phương trình đã cho là phương trình mặt cầu, hơn nữa mặt cầu có tâm là $ I(-2;1;-1) $, bán kính $ R=\frac { 4\sqrt[] { 3 } } { 3 } $.