Bài tự luận · Bài 34
DẠNG 3. Tìm toạ độ điểm thuộc đường thẳng thoả mãn điều kiện cho trước
Bài tự luận Phương trình đường thẳng · Bài 34
(KNTT10) Cho đường thẳng $d:2x-y+1=0$ và hai điểm $A(-1;2),B(4;0)$.
a) Tính khoảng cách từ $A$ đến đường thẳng $d$.
b) Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc của $A$ lên đường thẳng $d$.
c) Tìm điểm $C$ trên trục $Oy$ sao cho trọng tâm của tam giác $ABC$ thuộc đường thẳng $d$. Khi đó tính diện tích tam giác $ABC$.
a) Tính khoảng cách từ $A$ đến đường thẳng $d$.
b) Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc của $A$ lên đường thẳng $d$.
c) Tìm điểm $C$ trên trục $Oy$ sao cho trọng tâm của tam giác $ABC$ thuộc đường thẳng $d$. Khi đó tính diện tích tam giác $ABC$.
Xem lời giải
Lời giải
a) Khoảng cách từ điểm $A$ đến đường thẳng $d$ là $\frac{\left| 2\cdot (-1)-2+1 \right| }{\sqrt{2^{2} +(-1)^{2} } }=\frac{3}{\sqrt{5} }=\frac{3\sqrt{5}}{5}$.
b) Gọi $\Delta$ là đường thẳng đi qua $A$ và vuông góc với đường thẳng $d$. Khi đó $\Delta$ nhận vectơ chỉ phương $\overset\rightarrow { u_{d}}=(1;2)$ của đường thẳng $d$ là một vectơ pháp tuyến nên phương trình của $\Delta$ là $1(x+1)+2(y-2)=0\Leftrightarrow x+2y-3=0$. Hình chiếu vuông góc $H$ của điểm $A$ trên đường thẳng $d$ là giao điểm của đường thẳng $d$ và $\Delta$. Do đó toạ độ của điểm $H$ là nghiệm của hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} 2x-y+1=0 \\ x+2y-3=0 \\ \end{array} \right.$. Giải hệ phương trình ta được $x=\frac{1}{5},y=\frac{7}{5}$. Vậy $H\left( \frac{1}{5};\frac{7}{5} \right)$.
c) Điểm $C$ thuộc trục $Oy$ nên toạ độ của $C$ có dạng $C(0;c)$. Trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ có toạ độ là $G=\left( \frac{-1+4+0}{3};\frac{2+0+c}{3} \right)=\left( 1;\frac{2+c}{3} \right)$. Do $G$ thuộc đường thẳng $d$ nên ta có $2\cdot 1-\left( \frac{2+c}{3} \right)+1=0\Rightarrow c=7$. Vậy $C(0;7)$.
Đường thẳng $AB$ nhận vectơ $\overset\rightarrow { AB }=(5;-2)$ là một vectơ chỉ phương nên $AB$ nhận vectơ $n(2;5)$ là một vectơ pháp tuyến. Phương trình của $AB$ là $2x+5y-8=0$. Khi đó diện tích tam giác $ABC$ là $S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot d(C,AB)\cdot AB=\frac{1}{2}\cdot \frac{\left| 2\cdot 0+5\cdot 7-8 \right| }{\sqrt{2^{2} +5^{2} } }\cdot \sqrt{5^{2} +(-2)^{2} }=\frac{27}{2}.$
Lưu ý
- Khi tìm hình chiếu vuông góc $H$ của $A$ lên đường thẳng $d$ ta có thể viết phương trình tham số của $d$ và biểu diễn tọa độ của $H$ tính theo một tham số. Sau đó dùng điều kiện $AH\perp d\Leftrightarrow \overset\rightarrow { AH }\cdot \overset\rightarrow { u_{d}}=0$ để tính ra tham số. Từ đó các em tìm được toạ độ của điểm $H$.
- Diện tích tam giác $ABC$ có thể tính theo công thức $S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot AC\cdot \sin A$. Từ đó áp dụng các công thức tính diện tích tam giác để suy ra góc, độ dài các đường cao, bán kính đường tròn nội tiếp và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.
b) Gọi $\Delta$ là đường thẳng đi qua $A$ và vuông góc với đường thẳng $d$. Khi đó $\Delta$ nhận vectơ chỉ phương $\overset\rightarrow { u_{d}}=(1;2)$ của đường thẳng $d$ là một vectơ pháp tuyến nên phương trình của $\Delta$ là $1(x+1)+2(y-2)=0\Leftrightarrow x+2y-3=0$. Hình chiếu vuông góc $H$ của điểm $A$ trên đường thẳng $d$ là giao điểm của đường thẳng $d$ và $\Delta$. Do đó toạ độ của điểm $H$ là nghiệm của hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} 2x-y+1=0 \\ x+2y-3=0 \\ \end{array} \right.$. Giải hệ phương trình ta được $x=\frac{1}{5},y=\frac{7}{5}$. Vậy $H\left( \frac{1}{5};\frac{7}{5} \right)$.
c) Điểm $C$ thuộc trục $Oy$ nên toạ độ của $C$ có dạng $C(0;c)$. Trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ có toạ độ là $G=\left( \frac{-1+4+0}{3};\frac{2+0+c}{3} \right)=\left( 1;\frac{2+c}{3} \right)$. Do $G$ thuộc đường thẳng $d$ nên ta có $2\cdot 1-\left( \frac{2+c}{3} \right)+1=0\Rightarrow c=7$. Vậy $C(0;7)$.
Đường thẳng $AB$ nhận vectơ $\overset\rightarrow { AB }=(5;-2)$ là một vectơ chỉ phương nên $AB$ nhận vectơ $n(2;5)$ là một vectơ pháp tuyến. Phương trình của $AB$ là $2x+5y-8=0$. Khi đó diện tích tam giác $ABC$ là $S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot d(C,AB)\cdot AB=\frac{1}{2}\cdot \frac{\left| 2\cdot 0+5\cdot 7-8 \right| }{\sqrt{2^{2} +5^{2} } }\cdot \sqrt{5^{2} +(-2)^{2} }=\frac{27}{2}.$
Lưu ý
- Khi tìm hình chiếu vuông góc $H$ của $A$ lên đường thẳng $d$ ta có thể viết phương trình tham số của $d$ và biểu diễn tọa độ của $H$ tính theo một tham số. Sau đó dùng điều kiện $AH\perp d\Leftrightarrow \overset\rightarrow { AH }\cdot \overset\rightarrow { u_{d}}=0$ để tính ra tham số. Từ đó các em tìm được toạ độ của điểm $H$.
- Diện tích tam giác $ABC$ có thể tính theo công thức $S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot AC\cdot \sin A$. Từ đó áp dụng các công thức tính diện tích tam giác để suy ra góc, độ dài các đường cao, bán kính đường tròn nội tiếp và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.