Cho các chữ số $ 0,\,1,\,2,\,3,\,4,5,\,6 $. Lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có bốn chữ số khác nhau và một trong hai chữ số đầu tiên là $ 5 $?

Phần giải chi tiết Trường hợp 1: Chữ số cuối là chữ số $ 0 $. Chọn vị trí cho số $ 5 $ có 2 cách và lấy hai trong bốn chữ số còn lại sắp vào hai vị trí còn lại thì số cách là $ A_{ 4 } ^{ 2 } $. Suy ra trường hợp này có $ 2.A_{ 4 } ^{ 2 }=24 $số. Trường hợp 2: Chữ số cuối là chữ số 2 hoặc 6 và chữ số đầu là 5. Chọn chữ số cuối có 2 cách, hai chữ số đứng giữa $ A_{ 4 } ^{ 2 } $cách. Suy ra trường hợp này có $ A_{ 4 } ^{ 2 }.2=24 $số. Trường hợp 3: Chữ số cuối là chữ số 2 hoặc 6 và chữ số đứng thứ hai là 5. Chọn chữ số cuối có 2 cách, chọn chữ số đứng đầu có 3 cách, chọn chữ số đứng thứ 3 có 3 cách. Suy ra trường hợp này có $ 3.1.3.2=18 $số. Vậy số các số tự nhiên chẵn có bốn chữ số khác nhau và một trong hai chữ số đầu tiên là $ 5 $có $ 24+24+18=66 $ số.