Bài tự luận Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ · Bài 19
(KNTT12) Cho tứ diện $ABCD$. Trọng tâm $G$ của tứ diện là điểm duy nhất thoả mãn đẳng thức $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=0$. Chứng minh rằng toạ độ của điểm $G$ được cho bởi công thức:
$x_G=\dfrac{x_A+x_B+x_C+x_D}{4};y_G=\dfrac{y_A+y_B+y_C+y_D}{4};z_G=\dfrac{z_A+z_B+z_C+z_D}{4}$.
Xem lời giải
Lời giải
Từ điều kiện $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=0$, ta có:
$(\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OG})+(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OG})+(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OG})+(\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OG})=0$.
Do đó $\overrightarrow{OG}=\dfrac{1}{4}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD})$. Áp dụng các biểu thức toạ độ của phép cộng vectơ và phép nhân một số với một vectơ ta nhận được các công thức cần chứng minh.
