(CTST12) Người ta muốn thiết kế một quả địa cầu trong không gian $Oxyz$ bằng phần mềm 3D,
Biết phương trình mặt cầu là $(S):(x-24)^2+(y-24)^2+(z-24)^2=100$ (đơn vị cm) và phương trình đường thẳng trục xoay là $d:\dfrac{x-24}{1}=\dfrac{y-24}{1}=\dfrac{z-24}{3,25}$.
a) Tìm tọa độ giao điểm của $d$ và $(S)$.
b) Tính số đo góc giữa $d$ và trục $Oz$. Làm tròn kết quả đến hàng phần mười của độ.
Xem lời giải
Lời giải
a) Đường thẳng $d$ có phương trình tham số $\left\{\begin{array}{l}x=24+t\\y=24+t\\z=24+3,25t\end{array}\right.$.
Xét điểm $M(24+t;24+t;24+3,25t)$ trên đường thẳng $d$.
Thay tọa độ của $M$ vào phương trình mặt cầu $(S)$, ta được:
$(24+t-24)^2+(24+t-24)^2+(24+3,25t-24)^2=100$
$\Leftrightarrow t=\dfrac{40\sqrt{201}}{201}\vee t=-\dfrac{40\sqrt{201}}{201}$.
Vậy $d$ cắt $(S)$ tại hai điểm $M\left(24+\dfrac{40\sqrt{201}}{201};24+\dfrac{40\sqrt{201}}{201};24+\dfrac{130\sqrt{201}}{201}\right)$ và $M'\left(24-\dfrac{40\sqrt{201}}{201};24-\dfrac{40\sqrt{201}}{201};24-\dfrac{130\sqrt{201}}{201}\right)$.
b) Vectơ chỉ phương của $d$ và trục $Oz$ lần lượt là $a=(1;1;3,25);k=(0;0;1)$. Ta có: $\cos(d,Oz)=\dfrac{|a\cdot k|}{|a|\cdot|k|}=\dfrac{3,25}{\sqrt{1+1+3,25^2}}\approx0,917$, suy ra $(d,Oz)\approx23,5^\circ$.
