Bài tự luận · Bài 29
Dạng 4. Bài toán chứa tham số
Bài tự luận Cực trị của hàm số · Bài 29
Với tham số $m$, đồ thị của hàm số $ y=\frac { x ^{2} -mx } { x+1 }$ có hai điểm cực trị $ C,{ \rm{ } }D$ và $ CD=5$. Tìm $ m$
Xem lời giải
Lời giải
Ta có tập xác định của hàm số là $D=\mathbb{R}\setminus \left \{ \begin{array}{l} -1 \end{array} \right \}$ và $ y'=\frac { x ^{2} +2x-m } { \left ( { x+1 } \right ) ^{2} }$
Hàm số có hai điểm cực trị khi $x ^{2} +2x-m=0$ có hai nghiệm phân biệt khác $ -1$
$\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} \Delta >0 \\ g\left ( { -1 } \right )\neq 0 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} m+1>0 \\ 1-2-m\neq 0 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} m>-1 \\ m\neq -1 \end{array} \right.\Leftrightarrow m>-1$
Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị $C,{ \rm{ } }D$ là $ y=\frac{(x^2-mx)'}{(x+1)'}=2x-m$.
Khi đó tọa độ hai điểm cực trị $C,{ \rm{ } }D$ là $ C\left ( { x_{C} ;2x_{C} -m } \right ),{ \rm{ } }D\left ( { x_{D} ;2x_{D} -m } \right )$.
Ta có $x_{C} ,{ \rm{ } }x_{D}$ là nghiệm của phương trình $ x ^{2} +2x-m=0$ nên $ \left \{ \begin{array}{l} x_{C} +x_{D} =-2 \\ x_{C} .x_{D} =-m \end{array} \right.$
Ta có $CD=5$
$\Leftrightarrow \sqrt{ \left ( { x_{D} -x_{C} } \right ) ^{2} +\left ( { 2x_{D} -2x_{C} } \right ) ^{2} }=5\Leftrightarrow \sqrt{ 5\left ( { x_{C} -x_{D} } \right ) ^{2} }=5 \\ \Leftrightarrow \sqrt{ 5\left ( { x_{C} ^{2} -2x_{C} x_{D} +x_{D} ^{2} } \right ) }=5\Leftrightarrow \sqrt{ 5\left[ \left ( { x_{C} +x_{D} } \right ) ^{2} -2x_{C} .x_{D} -2x_{C} .x_{D} \right] }=5 \\ \Leftrightarrow \sqrt{ 5\left ( { 4+4m } \right ) }=5\Leftrightarrow m=\frac{1}{4}$
Do $4m-1=4.\frac{1}{4}-1=0$ nên mệnh đề $ 4m-1=0$ là mệnh đề đúng.
Hàm số có hai điểm cực trị khi $x ^{2} +2x-m=0$ có hai nghiệm phân biệt khác $ -1$
$\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} \Delta >0 \\ g\left ( { -1 } \right )\neq 0 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} m+1>0 \\ 1-2-m\neq 0 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} m>-1 \\ m\neq -1 \end{array} \right.\Leftrightarrow m>-1$
Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị $C,{ \rm{ } }D$ là $ y=\frac{(x^2-mx)'}{(x+1)'}=2x-m$.
Khi đó tọa độ hai điểm cực trị $C,{ \rm{ } }D$ là $ C\left ( { x_{C} ;2x_{C} -m } \right ),{ \rm{ } }D\left ( { x_{D} ;2x_{D} -m } \right )$.
Ta có $x_{C} ,{ \rm{ } }x_{D}$ là nghiệm của phương trình $ x ^{2} +2x-m=0$ nên $ \left \{ \begin{array}{l} x_{C} +x_{D} =-2 \\ x_{C} .x_{D} =-m \end{array} \right.$
Ta có $CD=5$
$\Leftrightarrow \sqrt{ \left ( { x_{D} -x_{C} } \right ) ^{2} +\left ( { 2x_{D} -2x_{C} } \right ) ^{2} }=5\Leftrightarrow \sqrt{ 5\left ( { x_{C} -x_{D} } \right ) ^{2} }=5 \\ \Leftrightarrow \sqrt{ 5\left ( { x_{C} ^{2} -2x_{C} x_{D} +x_{D} ^{2} } \right ) }=5\Leftrightarrow \sqrt{ 5\left[ \left ( { x_{C} +x_{D} } \right ) ^{2} -2x_{C} .x_{D} -2x_{C} .x_{D} \right] }=5 \\ \Leftrightarrow \sqrt{ 5\left ( { 4+4m } \right ) }=5\Leftrightarrow m=\frac{1}{4}$
Do $4m-1=4.\frac{1}{4}-1=0$ nên mệnh đề $ 4m-1=0$ là mệnh đề đúng.