Bài tự luận · Bài 5
Dạng 1. Lập phương trình mặt phẳng
Bài tự luận Phương trình mặt phẳng · Bài 5
(CTST12) Lập phương trình mặt phẳng $ (P) $ trong mỗi trường hợp sau:
a) $ (P) $ đi qua điểm $ A(0;4;1) $ và có vectơ pháp tuyến $ n=(1;2;5) $
b) $ (P) $ đi qua điểm $ B(1;-2;0) $ và có cặp vectơ chỉ phương là $ a=(-3;-1;2) $, $ b=(1;1;3) $.
c) $ (P) $ đi qua ba điểm $ M(0;1;1),N(3;2;2),P(4;3;5) $.
d) $ (P) $ cắt ba trục tọa độ tại các điểm $ A(2;0;0),B(0;-3;0),C(0;0;-5) $.
a) $ (P) $ đi qua điểm $ A(0;4;1) $ và có vectơ pháp tuyến $ n=(1;2;5) $
b) $ (P) $ đi qua điểm $ B(1;-2;0) $ và có cặp vectơ chỉ phương là $ a=(-3;-1;2) $, $ b=(1;1;3) $.
c) $ (P) $ đi qua ba điểm $ M(0;1;1),N(3;2;2),P(4;3;5) $.
d) $ (P) $ cắt ba trục tọa độ tại các điểm $ A(2;0;0),B(0;-3;0),C(0;0;-5) $.
Xem lời giải
Lời giải
a) $ (P) $ đi qua điểm $ A(0;4;1) $ và có vectơ pháp tuyến $ n=(1;2;5) $ nên có phương trình:
$ 1\cdot (x-0)+2\cdot (y-4)+5\cdot (z-1)=0{ \rm{ } }{ \rm{ h } }{ \rm{ a } }{ \rm{ y } }{ \rm{ } }x+2y+5z-13=0. $
b) $ (P) $ có cặp vectơ chỉ phương là $ a=(-3;-1;2),b=(1;1;3) $, suy ra $ (P) $ có vectơ pháp tuyến $ n=[a,b]=(-5;11;-2) $.
Phương trình của $ (P) $ là $ -5(x-1)+11(y+2)-2(z-0)=0{ \rm{ } }{ \rm{ h } }{ \rm{ a } }{ \rm{ y } }{ \rm{ } }5x-11y+2z-27=0. $
c) $ (P) $ đi qua ba điểm $ M(0;1;1),N(3;2;2),P(4;3;5) $ nên có một cặp vectơ chỉ phương là $ \overset\rightarrow { MN }=(3;1;1);\overset\rightarrow { MP }=(4;2;4) $.
Ta có $ [\overset\rightarrow { MN },\overset\rightarrow { MP }]=(2;-8;2)=2(1;-4;1) $.
Do đó, $ (P) $ có một vectơ pháp tuyến là $ n=(1;-4;1) $.
Phương trình của $ (P) $ là $ x-4(y-1)+(z-1)=0{ \rm{ } }{ \rm{ h } }{ \rm{ a } }{ \rm{ y } }{ \rm{ } }x-4y+z+3=0. $
d) $ (P) $ cắt ba trục toạ độ lần lượt tại các điểm $ A(2;0;0),B(0;-3;0),C(0;0;-5) $ nên ta có phương trình mặt phẳng $ (P) $ theo đoạn chắn là $ \frac { x } { 2 }+\frac { y } { -3 }+\frac { z } { -5 }=1 $ hay $ 15x-10y-6z-30=0 $.
$ 1\cdot (x-0)+2\cdot (y-4)+5\cdot (z-1)=0{ \rm{ } }{ \rm{ h } }{ \rm{ a } }{ \rm{ y } }{ \rm{ } }x+2y+5z-13=0. $
b) $ (P) $ có cặp vectơ chỉ phương là $ a=(-3;-1;2),b=(1;1;3) $, suy ra $ (P) $ có vectơ pháp tuyến $ n=[a,b]=(-5;11;-2) $.
Phương trình của $ (P) $ là $ -5(x-1)+11(y+2)-2(z-0)=0{ \rm{ } }{ \rm{ h } }{ \rm{ a } }{ \rm{ y } }{ \rm{ } }5x-11y+2z-27=0. $
c) $ (P) $ đi qua ba điểm $ M(0;1;1),N(3;2;2),P(4;3;5) $ nên có một cặp vectơ chỉ phương là $ \overset\rightarrow { MN }=(3;1;1);\overset\rightarrow { MP }=(4;2;4) $.
Ta có $ [\overset\rightarrow { MN },\overset\rightarrow { MP }]=(2;-8;2)=2(1;-4;1) $.
Do đó, $ (P) $ có một vectơ pháp tuyến là $ n=(1;-4;1) $.
Phương trình của $ (P) $ là $ x-4(y-1)+(z-1)=0{ \rm{ } }{ \rm{ h } }{ \rm{ a } }{ \rm{ y } }{ \rm{ } }x-4y+z+3=0. $
d) $ (P) $ cắt ba trục toạ độ lần lượt tại các điểm $ A(2;0;0),B(0;-3;0),C(0;0;-5) $ nên ta có phương trình mặt phẳng $ (P) $ theo đoạn chắn là $ \frac { x } { 2 }+\frac { y } { -3 }+\frac { z } { -5 }=1 $ hay $ 15x-10y-6z-30=0 $.