Bài tập nâng cao · Bài 28
Dạng 1. Phương trình đường thẳng
Bài tập nâng cao Phương trình đường thẳng · Bài 28
Trong mặt phẳng $Oxy$, biết rằng tồn tại hai đường thẳng $d_1;d_2$ đi qua điểm $A(0;3)$ và tạo với đường thẳng $\Delta:-4x+y+4=0$ một góc $45^\circ$. Khi đó, tổng khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng $d_1$ và $d_2$ bằng
Xem lời giải
Lời giải
Ta có VTPT của $\Delta$ là $\vec n_\Delta=(-4;1)$.
Gọi $\vec n=(A;B)$, $A^2+B^2\ne0$ là VTPT của đường thẳng đi qua điểm $A(0;3)$ và tạo với đường thẳng $\Delta:-4x+y+4=0$ một góc $45^\circ$. Khi đó ta có phương trình đường thẳng trên có dạng $Ax+B(y-3)=0$ (*).
Vì đường thẳng đó tạo với đường thẳng $\Delta:-4x+y+4=0$ một góc $45^\circ$ nên
$\cos45^\circ=\frac{|-4A+B|}{\sqrt{17}\sqrt{A^2+B^2}} \\ \Leftrightarrow 17(A^2+B^2)=2(16A^2+B^2-8AB) \\ \Leftrightarrow 15A^2-15B^2-16AB=0$.
Khi $B=0$ thì $A=0$ (loại vì $A^2+B^2\ne0$).
Khi $B\ne0$ thì ta có phương trình $15\left(\frac AB\right)^2-16\frac AB-15=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} A=\frac53B \\ A=-\frac35B \end{array} \right.$.
+ Với $A=\frac53B$ thay vào (*) ta có $d_1:5x+3y-9=0$.
+ Với $A=-\frac35B$ thay vào (*) ta có $d_2:-3x+5y-15=0$.
Vậy ta có hai phương trình đường thẳng thỏa mãn đề bài là $d_1:5x+3y-9=0$ và $d_2:-3x+5y-15=0$.
Khi đó, $d(O;d_1)+d(O;d_2)=\frac{|-9|}{\sqrt{25+9}}+\frac{|-15|}{\sqrt{9+25}}=\frac{24}{\sqrt{34}}$.
Gọi $\vec n=(A;B)$, $A^2+B^2\ne0$ là VTPT của đường thẳng đi qua điểm $A(0;3)$ và tạo với đường thẳng $\Delta:-4x+y+4=0$ một góc $45^\circ$. Khi đó ta có phương trình đường thẳng trên có dạng $Ax+B(y-3)=0$ (*).
Vì đường thẳng đó tạo với đường thẳng $\Delta:-4x+y+4=0$ một góc $45^\circ$ nên
$\cos45^\circ=\frac{|-4A+B|}{\sqrt{17}\sqrt{A^2+B^2}} \\ \Leftrightarrow 17(A^2+B^2)=2(16A^2+B^2-8AB) \\ \Leftrightarrow 15A^2-15B^2-16AB=0$.
Khi $B=0$ thì $A=0$ (loại vì $A^2+B^2\ne0$).
Khi $B\ne0$ thì ta có phương trình $15\left(\frac AB\right)^2-16\frac AB-15=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} A=\frac53B \\ A=-\frac35B \end{array} \right.$.
+ Với $A=\frac53B$ thay vào (*) ta có $d_1:5x+3y-9=0$.
+ Với $A=-\frac35B$ thay vào (*) ta có $d_2:-3x+5y-15=0$.
Vậy ta có hai phương trình đường thẳng thỏa mãn đề bài là $d_1:5x+3y-9=0$ và $d_2:-3x+5y-15=0$.
Khi đó, $d(O;d_1)+d(O;d_2)=\frac{|-9|}{\sqrt{25+9}}+\frac{|-15|}{\sqrt{9+25}}=\frac{24}{\sqrt{34}}$.