Bài tập nâng cao Phương trình đường thẳng · Bài 29

+ $C\in d:x-y+1=0$ $\Rightarrow$ tọa độ điểm $C(c;c+1)$, với $c>0$.
$ABCD$ là hình chữ nhật, ta có $AC^2=BD^2\Leftrightarrow c^2=9\Leftrightarrow c=3\ (c>0)\Rightarrow C(3;4)$.
Gọi $I$ là trung điểm $AC\Rightarrow I\left(\frac52;\frac32\right)$.
+ Giả sử phương trình đường thẳng $BD$ là $ax+by+c=0$, $a^2+b^2\ne0$;
$I\left(\frac52;\frac32\right)\in BD\Leftrightarrow\frac52a+\frac32b+c=0\Leftrightarrow c=-\frac52a-\frac32b\quad(1)$.
$S_{ABCD}=BD\cdot d(C,BD)=12\Leftrightarrow d(C,BD)=\frac{12}{\sqrt{26}}\Leftrightarrow\frac{|3a+4b+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{12}{\sqrt{26}}\quad(2)$.
Thay $(1)$ vào $(2)$, ta có $\frac{\left|3a+4b-\frac52a-\frac32b\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{12}{\sqrt{26}}\Leftrightarrow275a^2-130ab-37b^2=0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}a=\frac{37b}{55}\\a=-\frac b5\end{array}\right.$.
- Với $a=\frac{37b}{55}\Rightarrow b\ne0$. Chọn $b=1\Rightarrow a=\frac{37}{55}$, $c=-\frac{35}{11}$.
$\Rightarrow$ phương trình đường thẳng $BD$ là $\frac{37}{55}x+y-\frac{35}{11}=0\Leftrightarrow y=-\frac{37}{55}x+\frac{35}{11}$.
Đường thẳng có hệ số góc âm nên tạo với chiều dương trục hoành một góc tù, vì vậy trường hợp này loại.
- Với $a=-\frac b5\Rightarrow b\ne0$. Chọn $b=1\Rightarrow a=-\frac15\Rightarrow c=-1$.
$\Rightarrow$ phương trình đường thẳng $BD$ là $-\frac15x+y-1=0\Leftrightarrow y=\frac15x+1\Leftrightarrow x-5y+5=0$.
Đường thẳng có hệ số góc dương nên tạo với chiều dương trục hoành một góc nhọn, vì vậy trường hợp này thỏa mãn.
Vậy phương trình đường thẳng $BD:x-5y+5=0$.