Bài tự luận · Bài 24
Dạng 1. Tính chất và đồ thị của hàm số mũ, hàm số lôgarit
Bài tự luận Hàm số mũ và hàm số lôgarit · Bài 24
(CD11) Cho hàm số $f(x)=\frac{9^{x}}{9^{x}+3}$.
a) Với $a,b$ là hai số thực thoả mãn $a+b=1$. Tính $f(a)+f(b)$.
b) Tính tổng: $S=f\left( \frac{1}{2023} \right)+f\left( \frac{2}{2023} \right)+\ldots +f\left( \frac{2022}{2023} \right)$.
a) Với $a,b$ là hai số thực thoả mãn $a+b=1$. Tính $f(a)+f(b)$.
b) Tính tổng: $S=f\left( \frac{1}{2023} \right)+f\left( \frac{2}{2023} \right)+\ldots +f\left( \frac{2022}{2023} \right)$.
Xem lời giải
Lời giải
a) Ta có:
$f(a)+f(b)=\frac{9^{a}}{9^{a}+3}+\frac{9^{b}}{9^{b}+3}=\frac{9^{a}}{9^{a}+3}+\frac{9^{1-a}}{9^{1-a}+3}=\frac{9^{a}}{9^{a}+3}+\frac{3}{3+9^{a}}=1.$
b) Ta thấy: $\frac{1}{2023}+\frac{2022}{2023}=1,\frac{2}{2023}+\frac{2021}{2023}=1,\ldots$
Theo câu a, ta có: $f\left( \frac{1}{2023} \right)+f\left( \frac{2022}{2023} \right)=1,f\left( \frac{2}{2023} \right)+f\left( \frac{2021}{2023} \right)=1,\ldots$
Suy ra
$\begin{array}{l} S=f\left( \frac{1}{2023} \right)+f\left( \frac{2}{2023} \right)+\cdots +f\left( \frac{2022}{2023} \right) \\ =\left[ f\left( \frac{1}{2023} \right)+f\left( \frac{2022}{2023} \right) \right]+\left[ f\left( \frac{2}{2023} \right)+f\left( \frac{2021}{2023} \right) \right]+\cdots \\ +\left[ f\left( \frac{1011}{2023} \right)+f\left( \frac{1012}{2023} \right) \right] \\ =\underbrace{1+1+\cdots +1}_{1011\text{ số }1}=1011. \end{array}$
$f(a)+f(b)=\frac{9^{a}}{9^{a}+3}+\frac{9^{b}}{9^{b}+3}=\frac{9^{a}}{9^{a}+3}+\frac{9^{1-a}}{9^{1-a}+3}=\frac{9^{a}}{9^{a}+3}+\frac{3}{3+9^{a}}=1.$
b) Ta thấy: $\frac{1}{2023}+\frac{2022}{2023}=1,\frac{2}{2023}+\frac{2021}{2023}=1,\ldots$
Theo câu a, ta có: $f\left( \frac{1}{2023} \right)+f\left( \frac{2022}{2023} \right)=1,f\left( \frac{2}{2023} \right)+f\left( \frac{2021}{2023} \right)=1,\ldots$
Suy ra
$\begin{array}{l} S=f\left( \frac{1}{2023} \right)+f\left( \frac{2}{2023} \right)+\cdots +f\left( \frac{2022}{2023} \right) \\ =\left[ f\left( \frac{1}{2023} \right)+f\left( \frac{2022}{2023} \right) \right]+\left[ f\left( \frac{2}{2023} \right)+f\left( \frac{2021}{2023} \right) \right]+\cdots \\ +\left[ f\left( \frac{1011}{2023} \right)+f\left( \frac{1012}{2023} \right) \right] \\ =\underbrace{1+1+\cdots +1}_{1011\text{ số }1}=1011. \end{array}$